Чтобы решить задачу, давайте сначала введем обозначения для скорости теплохода и лодки:
- Пусть скорость теплохода равна ( V_t ) (км/ч).
- Тогда скорость лодки будет равна ( V_l = \frac{2}{3} V_t ) (км/ч), т.к. скорость лодки составляет ( \frac{2}{3} ) скорости теплохода.
Теперь мы знаем, что расстояние между теплоходом и лодкой составляет 4,8 км, и теплоход догонит лодку через ( \frac{4}{5} ) часа. Запишем уравнение для времени, за которое теплоход догонит лодку.
Шаг 1: Определим расстояние, которое пройдет теплоход и лодка.
За время ( t = \frac{4}{5} ) часа:
- Теплоход пройдет расстояние ( S_t = V_t \cdot t = V_t \cdot \frac{4}{5} ).
- Лодка пройдет расстояние ( S_l = V_l \cdot t = \frac{2}{3} V_t \cdot \frac{4}{5} ).
Шаг 2: Зададим уравнение для расстояний.
Теплоход начнет с расстояния 4,8 км позади лодки. Значит, расстояние, которое теплоход пройдет, будет равно расстоянию, которое пройдет лодка, плюс это 4,8 км:
[
S_t = S_l + 4.8
]
Подставим выражения для расстояний:
[
V_t \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{3} V_t \cdot \frac{4}{5} + 4.8
]
Шаг 3: Упрощаем уравнение.
Умножим обе стороны уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:
[
4 V_t = \frac{2}{3} \cdot 4 V_t + 5 \cdot 4.8
]
Это можно упростить так:
[
4 V_t = \frac{8}{3} V_t + 24
]
Переместим все термины, содержащие ( V_t ), в одну сторону:
[
4 V_t - \frac{8}{3} V_t = 24
]
Шаг 4: Приведем к общему знаменателю.
Запишем ( 4 V_t ) в виде дроби:
[
\frac{12}{3} V_t - \frac{8}{3} V_t = 24
]
[
\frac{4}{3} V_t = 24
]
Шаг 5: Найдем скорость теплохода.
Теперь перемножим обе стороны уравнения на ( \frac{3}{4} ):
[
V_t = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18 \text{ км/ч}
]
Шаг 6: Найдем скорость лодки.
Теперь, зная скорость теплохода, можем найти скорость лодки:
[
V_l = \frac{2}{3} V_t = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость теплохода составляет ( 18 ) км/ч, а скорость лодки — ( 12 ) км/ч.
