найдите площадь фигуры образованной графиками х= 2х+4=0 и х+у-5=0,х=0
Чтобы найти площадь фигуры, образованной графиками уравнений \(x = 2x + 4 = 0\), \(x + y - 5 = 0\) и \(x = 0\), начнем с разборки этих уравнений.
Решим уравнение \(2x + 4 = 0\): \[ 2x + 4 = 0 \] \[ 2x = -4 \] \[ x = -2 \] Это значение будет точкой, где прямая \(x\) пересекает ось \(x\).
Решим уравнение \(x + y - 5 = 0\): \[ x + y - 5 = 0 \] \[ y = 5 - x \] Это уравнение описывает прямую, имеющую наклон (-1).
Построим графики:
- Прямая \(x = 0\) — это вертикальная ось \(y\).
- Прямая \(y = 5 - x\) имеет такие координаты:
- Если \(x = 0\), то \(y = 5\).
- Если \(x = 5\), то \(y = 0\).
Найдем точки пересечения:
- Пересечение прямой \(y = 5 - x\) с осью \(y\) (где \(x = 0\)): это точка (0, 5).
- Пересечение прямой \(y = 5 - x\) с прямой \(x = -2\): подставим \(x = -2\) в уравнение \(y = 5 - x\): \[ y = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \] Это точка (-2, 7).
Определим фигуру: Площадь, которую мы находим, будет заключена между:
- Вертикальной осью (где \(x = 0\))
- Прямой \(y = 5 - x\)
- Вертикальной прямой \(x = -2\)
Найдём площадь этой фигуры: Мы видим, что фигура представляет собой треугольник с вершинами в точках (0, 5), (-2, 7) и (-2, 0).
Чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой: \[ Площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота \] Здесь основание — это расстояние между точками (-2, 0) и (-2, 7), равное 7 (высоте), а высота — это расстояние от (0, 5) до охватываемой оси \(x\) (0, 0) на прямой.
Однако область будет строиться от \(x = -2\) до \(x = 0\), высота берётся от \(y = 5\) до \(0\).
Сначала найдем эту площадь. \[ Площадь = \int_{-2}^{0} (5 - x) \, dx \]
Теперь вычисляем интеграл: \[ \int (5 - x) \, dx = 5x - \frac{x^2}{2} + C \]
Подставим пределы: \[ \left[ 5x - \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} \]
Вычисляем для \(x = 0\): \[ 5 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} = 0 \]
Вычисляем для \(x = -2\): \[ 5(-2) - \frac{(-2)^2}{2} = -10 - 2 = -12 \]
Таким образом, площадь: \[ 0 - (-12) = 12 \]
Ответ: Площадь фигуры, образованной указанными графиками, равна \(12\) квадратных единиц.
