В треугольнике ABC угол В равен 90 градусов, точка К-середина АС. Найдите длину ВК, если АВ=8, АС=19

Для решения задачи начнем с того, что нужно определить, какие данные у нас есть: - Треугольник \(ABC\) является прямоугольным, где угол \(B\) равен \(90^\circ\). - Длины сторон: - \(AB = 8\) - \(AC = 19\) Поскольку точка \(K\) является серединой отрезка \(AC\), нам нужно найти длину отрезка \(BK\). ### Шаг 1: Найдем длину \(BC\) Поскольку треугольник \(ABC\) прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 19^2 = 8^2 + BC^2 \] Сначала найдем квадрат каждой стороны: \[ 361 = 64 + BC^2 \] Теперь из уравнения найдем \(BC^2\): \[ BC^2 = 361 - 64 = 297 \] Теперь найдём длину \(BC\): \[ BC = \sqrt{297} \] Поскольку \(297\) можно разложить как \(3 \times 99 = 3 \times 3 \times 11 = 9 \times 11\), получаем: \[ BC = 3\sqrt{33} \] ### Шаг 2: Найдем координаты точек Чтобы наглядно понять положение точек и вычислить расстояние \(BK\), давайте рассмотрим следующие координаты: - Точка \(A(0, 0)\) - Точка \(B(0, 8)\) — по оси \(y\), так как \(AB = 8\) вертикальна - Точка \(C(19, 0)\) — по оси \(x\), так как \(AC = 19\), горизонтальна Теперь найдем координаты точки \(K\) — середины отрезка \(AC\): \[ K\left(\frac{0 + 19}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = K\left(\frac{19}{2}, 0\right) \] ### Шаг 3: Находим длину \(BK\) Теперь, чтобы найти длину отрезка \(BK\), используем формулу расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\): \[ BK = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставим координаты точек \(B\) и \(K\): - \(B(0, 8)\) - \(K\left(\frac{19}{2}, 0\right)\) Теперь подставим в формулу: \[ BK = \sqrt{\left(\frac{19}{2} - 0\right)^2 + (0 - 8)^2} \] Вычислим каждое значение: \[ BK = \sqrt{\left(\frac{19}{2}\right)^2 + (-8)^2} \] \[ BK = \sqrt{\frac{361}{4} + 64} \] Приведем \(64\) к общему знаменателю: \[ 64 = \frac{256}{4} \] Следовательно: \[ BK = \sqrt{\frac{361 + 256}{4}} = \sqrt{\frac{617}{4}} = \frac{\sqrt{617}}{2} \] ### Ответ Таким образом, длина отрезка \(BK\) равна \( \frac{\sqrt{617}}{2} \).