в треугольнике ABC угол В равен 90 градусов, точка К-середина АС. Найдите длину ВК, если АВ=8, АС=19

Для решения задачи начнем с того, что нужно определить, какие данные у нас есть:

• Треугольник \(ABC\) является прямоугольным, где угол \(B\) равен \(90^\circ\).
• Длины сторон:
  • \(AB = 8\)
  • \(AC = 19\)

Поскольку точка \(K\) является серединой отрезка \(AC\), нам нужно найти длину отрезка \(BK\).

Шаг 1: Найдем длину \(BC\)

Поскольку треугольник \(ABC\) прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 19^2 = 8^2 + BC^2 \]

Сначала найдем квадрат каждой стороны:

\[ 361 = 64 + BC^2 \]

Теперь из уравнения найдем \(BC^2\):

\[ BC^2 = 361 - 64 = 297 \]

Теперь найдём длину \(BC\):

\[ BC = \sqrt{297} \]

Поскольку \(297\) можно разложить как \(3 \times 99 = 3 \times 3 \times 11 = 9 \times 11\), получаем:

\[ BC = 3\sqrt{33} \]

Шаг 2: Найдем координаты точек

Чтобы наглядно понять положение точек и вычислить расстояние \(BK\), давайте рассмотрим следующие координаты:

• Точка \(A(0, 0)\)
• Точка \(B(0, 8)\) — по оси \(y\), так как \(AB = 8\) вертикальна
• Точка \(C(19, 0)\) — по оси \(x\), так как \(AC = 19\), горизонтальна

Теперь найдем координаты точки \(K\) — середины отрезка \(AC\):

\[ K\left(\frac{0 + 19}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = K\left(\frac{19}{2}, 0\right) \]

Шаг 3: Находим длину \(BK\)

Теперь, чтобы найти длину отрезка \(BK\), используем формулу расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):

\[ BK = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Подставим координаты точек \(B\) и \(K\):

• \(B(0, 8)\)
• \(K\left(\frac{19}{2}, 0\right)\)

Теперь подставим в формулу:

\[ BK = \sqrt{\left(\frac{19}{2} - 0\right)^2 + (0 - 8)^2} \]

Вычислим каждое значение:

\[ BK = \sqrt{\left(\frac{19}{2}\right)^2 + (-8)^2} \]

\[ BK = \sqrt{\frac{361}{4} + 64} \]

Приведем \(64\) к общему знаменателю:

\[ 64 = \frac{256}{4} \] Следовательно:

\[ BK = \sqrt{\frac{361 + 256}{4}} = \sqrt{\frac{617}{4}} = \frac{\sqrt{617}}{2} \]

Ответ

Таким образом, длина отрезка \(BK\) равна \( \frac{\sqrt{617}}{2} \).