Для решения данной задачи нам нужно понять процесс, в котором Аня стирает числа и записывает их положительную разность. Давайте подробно разберемся, как это работает.
Имеем множество чисел на доске: (1, 22, 32, \ldots, 1012). Мы можем заметить, что эти числа имеют определенное правило, которое можно выяснить, посмотрев на разности между ними. Чтобы понять, как Аня может сократить список чисел до одного, давайте проанализируем процесс.
Шаг 1: Identifying the numbers
Сначала определим все числа от 1 до 1012. Мы видим, что это последовательность, которая начинается с 1 и заканчивается на 1012, но, чтобы выявить шаг, давайте исследуем, как числа изменяются.
Давайте найдем разности между числами:
- ( 22 - 1 = 21 )
- ( 32 - 22 = 10 )
Похоже, что числа далеки друг от друга (разницы не равны). Следовательно, по каждой паре, которую выбирает Аня, она будет складывать и оставлять только положительные разности.
Шаг 2: Исключение двух чисел
Каждый раз когда Аня выбирает два числа (a) и (b) и записывает их положительную разность (|a - b|), общее количество чисел уменьшается на 1. Это продолжается до тех пор, пока не останется одно число.
Шаг 3: Анализ остатка
Обратите внимание на характер операции, которую Аня выполняет:
- Каждая операция уменьшает количество чисел на 1.
- При подстановке разности все еще остается возможность добраться до минимального значения.
Шаг 4: Определение наименьшего значения
Сейчас мы должны рассмотреть, какое наименьшее значение может быть записано на доске в конце. Поскольку в каждой операции мы сохраняем только положительные разности, если мы подсчитаем чётное число операций, остаётся возможность, что в конечном итоге будет остающимся числом 1 (пример взаимодействия всех чисел).
Окончательный ответ
Таким образом, несмотря на исходные числа, Аня с их помощью всегда может свести оставшееся число до минимально возможного значения, которое в конце может оказаться равным:
[
\boxed{1}
]
Это единственное число, которое в конечном итоге останется на доске, если Аня правильно выберет числа для удаления.
