На доске написаны числа 1, 22, 32 ... 1012. Отличница Аня стирает любые два из них, записывая их положительную разность. Она проделывает эту процедуру до тех пор, пока на доске не…

Для решения данной задачи нам нужно понять процесс, в котором Аня стирает числа и записывает их положительную разность. Давайте подробно разберемся, как это работает.

Имеем множество чисел на доске: \(1, 22, 32, \ldots, 1012\). Мы можем заметить, что эти числа имеют определенное правило, которое можно выяснить, посмотрев на разности между ними. Чтобы понять, как Аня может сократить список чисел до одного, давайте проанализируем процесс.

Шаг 1: Identifying the numbers

Сначала определим все числа от 1 до 1012. Мы видим, что это последовательность, которая начинается с 1 и заканчивается на 1012, но, чтобы выявить шаг, давайте исследуем, как числа изменяются.

Давайте найдем разности между числами:

• \( 22 - 1 = 21 \)
• \( 32 - 22 = 10 \)

Похоже, что числа далеки друг от друга (разницы не равны). Следовательно, по каждой паре, которую выбирает Аня, она будет складывать и оставлять только положительные разности.

Шаг 2: Исключение двух чисел

Каждый раз когда Аня выбирает два числа \(a\) и \(b\) и записывает их положительную разность \(|a - b|\), общее количество чисел уменьшается на 1. Это продолжается до тех пор, пока не останется одно число.

Шаг 3: Анализ остатка

Обратите внимание на характер операции, которую Аня выполняет:

• Каждая операция уменьшает количество чисел на 1.
• При подстановке разности все еще остается возможность добраться до минимального значения.

Шаг 4: Определение наименьшего значения

Сейчас мы должны рассмотреть, какое наименьшее значение может быть записано на доске в конце. Поскольку в каждой операции мы сохраняем только положительные разности, если мы подсчитаем чётное число операций, остаётся возможность, что в конечном итоге будет остающимся числом 1 (пример взаимодействия всех чисел).

Окончательный ответ

Таким образом, несмотря на исходные числа, Аня с их помощью всегда может свести оставшееся число до минимально возможного значения, которое в конце может оказаться равным: \[ \boxed{1} \] Это единственное число, которое в конечном итоге останется на доске, если Аня правильно выберет числа для удаления.