вычислить

Чтобы вычислить определенный интеграл \( \int_{1}^{2} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx \), следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найти неопределенный интеграл (первообразную)

Каждое слагаемое интегрируется по отдельности:

1. \( \int 4x^3 \, dx = \frac{4}{4}x^4 = x^4 \)
2. \( \int -3x^2 \, dx = -\frac{3}{3}x^3 = -x^3 \)
3. \( \int 2x \, dx = \frac{2}{2}x^2 = x^2 \)
4. \( \int 1 \, dx = x \)

Соединяем все вместе:

\[ \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^4 - x^3 + x^2 + x + C \]

Шаг 2: Вычислить определенный интеграл

Теперь используем теорему Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{1}^{2} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ x^4 - x^3 + x^2 + x \right]_{1}^{2} \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

1. Вычисляем при \( x = 2 \):

\[ (2)^4 - (2)^3 + (2)^2 + 2 = 16 - 8 + 4 + 2 = 14 \]

2. Вычисляем при \( x = 1 \):

\[ (1)^4 - (1)^3 + (1)^2 + 1 = 1 - 1 + 1 + 1 = 2 \]

Шаг 3: Найти разность значений

\[ 14 - 2 = 12 \]

Таким образом, значение определенного интеграла равно \( 12 \).