Вычислить

Чтобы вычислить определенный интеграл \( \int_{1}^{2} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx \), следуем следующим шагам: ### Шаг 1: Найти неопределенный интеграл (первообразную) Каждое слагаемое интегрируется по отдельности: 1. \( \int 4x^3 \, dx = \frac{4}{4}x^4 = x^4 \) 2. \( \int -3x^2 \, dx = -\frac{3}{3}x^3 = -x^3 \) 3. \( \int 2x \, dx = \frac{2}{2}x^2 = x^2 \) 4. \( \int 1 \, dx = x \) Соединяем все вместе: \[ \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^4 - x^3 + x^2 + x + C \] ### Шаг 2: Вычислить определенный интеграл Теперь используем теорему Ньютона-Лейбница: \[ \int_{1}^{2} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ x^4 - x^3 + x^2 + x \right]_{1}^{2} \] Теперь подставим пределы интегрирования: 1. Вычисляем при \( x = 2 \): \[ (2)^4 - (2)^3 + (2)^2 + 2 = 16 - 8 + 4 + 2 = 14 \] 2. Вычисляем при \( x = 1 \): \[ (1)^4 - (1)^3 + (1)^2 + 1 = 1 - 1 + 1 + 1 = 2 \] ### Шаг 3: Найти разность значений \[ 14 - 2 = 12 \] Таким образом, значение определенного интеграла равно \( 12 \).