Докажите, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Для решения этой задачи докажем, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности действительно совпадает с серединой гипотенузы.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Пусть O - центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Для начала заметим, что вписанный угол около окружности в прямоугольном треугольнике равен 90 градусам (угол в полуокружности). Тогда у нас есть две дуги, соответствующие острым углам прямоугольного треугольника: AC и BC.

1. Проведем высоту из вершины C на гипотенузу AB. Пусть это точка H.
2. Так как треугольник ABC прямоугольный, высота CH является медианой и перпендикуляром (высотой) одновременно, что делает ее именно серединой гипотенузы AB.
3. Далее, рассмотрим треугольник ACB. Так как угол вписанный на дуге AC равен 90 градусам, он опирается на диаметр (гипотенузу) AB около центра окружности O. Следовательно, точка H лежит на окружности с центром O.
4. Таким образом, центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.

Таким образом, доказано, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы.