Точки M, N, E и K, последовательно расположенные на окружности в указанном порядке, делят её на четыре дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:5:8 (дуга MN наименьшая). Найдите градусную меру дуги ME

**Решение:** Пусть \( x \) - градусная мера дуги \( MN \), тогда - Градусная мера дуги \( NE = \frac{3}{2}x \) - Градусная мера дуги \( EK = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2}x = \frac{5}{2}x \) - Градусная мера дуги \( KM = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2}x = 4x \) Так как сумма градусных мер всех четырех дуг равна 360 градусов (полная окружность), то: \[ x + \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}x + 4x = 360 \] \[ x(1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2} + 4) = 360 \] \[ x \left( 1 + \frac{3+5+8}{2} \right) = 360 \] \[ x \left( \frac{17}{2} \right) = 360 \] \[ x = \frac{360 \cdot 2}{17} \] \[ x \approx 42.35^\circ \] Итак, градусная мера дуги \( MN \approx 42.35^\circ \), \( NE \approx 63.52^\circ \), \( EK \approx 105.88^\circ \) и \( KM \approx 169.41^\circ \). Таким образом, градусная мера дуги \( ME = \frac{3}{2}x \approx \frac{3}{2} \cdot 42.35^\circ \approx 63.52^\circ \).