Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45 км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт А. К моменту возвращения лодки в пункт А плот проплыл 32 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Для решения данной задачи мы можем использовать понятие относительной скорости движения. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна \( v \) км/ч. 1. Для плота: Скорость плота относительно воды равна \( v_{\text{п}} = v + 4 \) км/ч (учитывая скорость течения реки). 2. Для лодки: Скорость лодки относительно воды равна \( v_{\text{л}} = v - 4 \) км/ч (против течения реки). Так как плот плывет 32 км за час до начала движения лодки, то за час лодка на \( v_{\text{л}} \) км/ч "догонит" плот (т.е. на \( v_{\text{п}} - v_{\text{л}} = 2v \) км/ч быстрее). 3. Условие "догонит" плот: Дистанция, пройденная лодкой равна расстоянию между А и В, т.е. 45 км. \[ 1 \cdot v_{\text{л}} = 1 \cdot v_{\text{п}} + 1 \cdot 32 \] \[ v - 4 = v + 4 + 32 \] \[ -8 = 32 \] Это уравнение не может быть истинным, что свидетельствует об ошибке в рассуждениях. Исправим рассуждения: Пусть лодка пройдет расстояние \( x \) км за час, после чего начнет движение против течения реки со скоростью \( v - 4 \) км/ч. Тогда время, за которое лодка прошла расстояние \( x \), равно \( \frac{x}{v} \) часа. Плот за это же время проплывет \( x + 32 \) км. Так как скорость плота равна \( v + 4 \) км/ч, то время, за которое проплывет плот расстояние \( x + 32 \), равно \( \frac{x + 32}{v+4} \) часа. Учитывая, что общее время пути лодки должно равняться времени пути плота: \[ \frac{x}{v} = \frac{x + 32}{v + 4} \] \[ x(v + 4) = (x + 32)v \] \[ xv + 4x = xv + 32v \] \[ 4x = 32v \] \[ x = 8v \] 4. Так как лодка прошла 45 км, получим: \[ 8v = 45 \] \[ v = \frac{45}{8} \] \[ v = 5.625 \text{ км/ч} \] Итак, скорость лодки в неподвижной воде равна 5.625 км/ч.