При каких значениях икс имеет смысл выражения

Чтобы логарифмическое выражение имело смысл, значение под логарифмом должно быть больше нуля. Рассмотрим выражение: \[ \log_7(x^2 - x - 6) \] Для существования этого логарифма необходимо и достаточно, чтобы: \[ x^2 - x - 6 > 0 \] Решим неравенство: 1. **Найдем нули функции**. Это делается путем решения квадратного уравнения: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{2} \] \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] 2. **Интервалы**. Определим знаки выражения на интервалах, которые получились после разбиения числовой прямой в точках \(x = -2\) и \(x = 3\): - Интервал \((-\infty, -2)\) - Интервал \((-2, 3)\) - Интервал \((3, +\infty)\) 3. **Определение знаков на интервалах**: Поскольку это парабола, ветви направлены вверх. Расставим знаки, используя метод интервалов: - На интервале \((-\infty, -2)\), положительная область. - На интервале \((-2, 3)\), отрицательная область. - На интервале \((3, +\infty)\), положительная область. 4. **Решение**. Подходящие значения \(x\), на которых выражение положительно, находятся на интервалах: \[ x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \] Таким образом, выражение \(\log_7(x^2 - x - 6)\) имеет смысл при \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\).