При каких значениях икс имеет смысл выражения

Чтобы логарифмическое выражение имело смысл, значение под логарифмом должно быть больше нуля. Рассмотрим выражение:

\[ \log_7(x^2 - x - 6) \]

Для существования этого логарифма необходимо и достаточно, чтобы:

\[ x^2 - x - 6 > 0 \]

Решим неравенство:

1. Найдем нули функции. Это делается путем решения квадратного уравнения:

   \[ x^2 - x - 6 = 0 \]

   Используем дискриминант:

   \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

   Находим корни:

   \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{2} \]

   \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

2. Интервалы. Определим знаки выражения на интервалах, которые получились после разбиения числовой прямой в точках \(x = -2\) и \(x = 3\):

   • Интервал \((-\infty, -2)\)
   • Интервал \((-2, 3)\)
   • Интервал \((3, +\infty)\)

3. Определение знаков на интервалах:

   Поскольку это парабола, ветви направлены вверх. Расставим знаки, используя метод интервалов:

   • На интервале \((-\infty, -2)\), положительная область.
   • На интервале \((-2, 3)\), отрицательная область.
   • На интервале \((3, +\infty)\), положительная область.

4. Решение. Подходящие значения \(x\), на которых выражение положительно, находятся на интервалах:

   \[ x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \]

Таким образом, выражение \(\log_7(x^2 - x - 6)\) имеет смысл при \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\).