13/35 умножить 28/39 + 2/5
Рассмотрим задачу: \(\frac{13}{35} \times \left(\frac{28}{39} + \frac{2}{5}\right)\).
Цель — понять, как решить выражение шаг за шагом.
Шаг 1: Посчитаем сумму внутри скобок: \(\frac{28}{39} + \frac{2}{5}\).
Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю.
- Общий знаменатель для 39 и 5 — это их наименьшее общее кратное.
Находим НОК 39 и 5:
- 39 — простое число или число, делящееся на 3 и 13.
- 5 — простое число.
НОК = 39 × 5 = 195, так как 39 и 5 взаимно просты (не имеют общего делителя, кроме 1).
Приводим обе дроби к знаменателю 195:
\(\frac{28}{39}\):
Умножим числитель и знаменатель на 5:
\(\frac{28 \times 5}{39 \times 5} = \frac{140}{195}\).\(\frac{2}{5}\):
Умножим числитель и знаменатель на 39:
\(\frac{2 \times 39}{5 \times 39} = \frac{78}{195}\).
Теперь складываем дроби:
\[ \frac{140}{195} + \frac{78}{195} = \frac{140 + 78}{195} = \frac{218}{195} \]
Шаг 2: Умножение \(\frac{13}{35}\) на полученную сумму \(\frac{218}{195}\).
Произведем умножение дробей:
\[ \frac{13}{35} \times \frac{218}{195} = \frac{13 \times 218}{35 \times 195} \]
Подумаем, можно ли сократить дробь перед умножением:
- Ищем общее делитель числителей и знаменателей, чтобы сократить.
Шаг 3: Сокращение дроби:
Посмотрим, есть ли общие делители:
- Числитель: 13 и 218.
Я заметил, что \(218 \div 13 = 16.769...\), не является целым.
Проверим, делится ли 218 на 13: 13 × 16 = 208, 13 × 17 = 221. Нет, 218 не делится на 13.
Теперь ищем делители у чисел в знаменателе:
35 и 195.
- 35 делится на 5 и 7.
- 195 делится на 3 и 5 и 13.
Посмотрим, есть ли общий делитель между числителями и знаменателями.
Числитель: 13 и 218. Мы заметили, что 218 делится на 2 (218 ÷ 2 = 109), не делится на 13.
Знаменатель: 35 и 195.
35: 5,7
195: 3,5,13
Общий делитель — 5, т.к. 35 и 195 оба делятся на 5.
Используем это, чтобы сократить дробь:
- Сократим числитель и знаменатель на 5:
\[ \frac{13 \times 218}{35 \times 195} = \frac{13 \times 218 / 5}{(35 / 5) \times 195} = \frac{13 \times 43.6}{7 \times 195} \]
Но 218 делится на 2 и на 109, а 5 не делит 218, так что деление на 5 недопустимо для числителя.
Давайте проверить делимость числителя и знаменателя на 13 или другие возможные делители.
Числитель: 13 × 218 = 13 × 218 (перепишем в виде произведения, чтобы было проще)
Знаменатель: 35 × 195.
Еще проще — попробовать упростить исходное выражение, представив его как произведение дробей с уже найденным сокращением.
Общий подход:
- Напишем исходный результат ещё раз:
\[ \frac{13}{35} \times \frac{218}{195} \]
- Попробуем сократить числитель и знаменатель по возможным делителям:
- Основание: проверим, делится ли 218 на 13:
\[ 13 \times 16 = 208, \quad 13 \times 17 = 221 \]
- Нет, 218 не делится на 13.
- Посмотрим на 195: делится на 3, есть 195 ÷ 3 = 65.
Углубимся дальше.
218 — делится на 2, так как чётное.
195 — делится на 3, 5, 13.
Значит, можем сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 1 или 2, если делители совпадают.
13 — простое число, не делится на 2.
218 — делится на 2, как уже было.
35 — делится на 5 и 7.
195 — делится на 3, 5, 13.
Общий делитель — 13?
- 13 делится на 13? Да.
- 218 — 218 ÷ 13 = 16.7, не целое — нет.
Итак, 13 не делится на 218, значит, делителей общего нет.
Вывод: дробь не поддается сокращению непосредственно.
Шаг 4: Выполняем умножение числителя и знаменателя:
\[ \frac{13 \times 218}{35 \times 195} \]
посчитаем числитель и знаменатель по отдельности:
числитель: \(13 \times 218\):
\(13 \times 218 = 13 \times (200 + 18) = 13 \times 200 + 13 \times 18 = 2600 + 234 = 2834\).
знаменатель: \(35 \times 195\):
\(35 \times (200 - 5) = 35 \times 200 - 35 \times 5 = 7000 - 175 = 6825\).
Итак, результат:
\[ \frac{2834}{6825} \]
Шаг 5: Проверка на примитивность дроби:
Проверим, есть ли у числителя и знаменателя общий делитель.
2834 — делится на 2? Проверим:
\(2834 \div 2 = 1417\), да, делится.
6825 — делится на 5? Проверим:
\(6825 \div 5 = 1365\), да.
Теперь, поиск общего делителя — проверим, делит ли 1417 на 5 или 2.
1417 не делится на 2 или 5, значит, чмслитель и знаменатель не имеют общего делителя больше 1.
Иначе говоря, дробь в несократимом виде:
\[ \frac{2834}{6825} \]
Ответ:
\[
\boxed{\frac{2834}{6825}}
\]
Если нужен более удобный вид, можно оставить как есть, либо перевести в десятичный вид, разделив числитель на знаменатель:
\[ 2834 \div 6825 \approx 0,415 \]
Если что-то непонятно — спрашивайте!
