В урне имеется 20 шаров, среди которых 12 красного цвета. из урны на удачу извлекают 5 шаров. найти вероятность того, что извлечённые шары не красного цвета
Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Общее число шаров в урне: \( 20 \)
- Количество красных шаров: \( 12 \)
- Количество не красных шаров: \( 20 - 12 = 8 \)
- Количество извлекаемых шаров: \( 5 \)
Цель:
Найти вероятность того, что извлечённые шары не красного цвета, то есть все пять — из не красных шаров.
Шаг 1. Общий объем выборки
Общее количество способов выбрать любой 5-шаров из 20 — это сочетание:
\[
C_{20}^{5} = \frac{20!}{5!(20-5)!}
\]
Шаг 2. Количество благоприятных исходов
Благоприятный исход — это когда все 5 извлечённых шаров — из 8 не красных:
\[
C_{8}^{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!}
\]
Шаг 3. Вычисление вероятности
Вероятность того, что все 5 выбраны из не красных — это отношение количества благоприятных способов к общему числу способов:
\[
P = \frac{C_{8}^{5}}{C_{20}^{5}}
\]
Расчёты:
- \( C_{8}^{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \)
- \( C_{20}^{5} = \frac{20!}{5!15!} \)
Посчитаем:
\(\frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1860480}{120} = 15504 \)
Итоговая вероятность:
\[ P = \frac{56}{15504} \]
Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
\[
P = \frac{7}{1938}
\]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Вероятность, что все извлечённые шары не красного цвета, равна} \quad \frac{7}{1938} } \]
Если нужно, я могу помочь с более подробным объяснением или другими вариантами!
