Дано три множества целых решений неравенств:
- A: множества целых решений неравенства (-7n < 2)
- B: множество натуральных решений неравенства (1 < n < 6)
- C: множество целых решений неравенств (2n < 8)
Решим по очереди каждое неравенство и найдем соответствующие множества.
1. Множество А: целые решения неравенства (-7n < 2)
Рассмотрим неравенство:
[
-7n < 2
]
делим обе части на (-7), меняя знак неравенства:
[
n > -\frac{2}{7}
]
Так как (n) — целое, то:
[
n \geq 0
]
Множество А:
[
A = { n \in \mathbb{Z} \mid n \ge 0 } = {0, 1, 2, 3, \dots }
]
2. Множество В: натуральные решения (1 < n < 6)
Натуральные числа — это (1, 2, 3, \dots). Неравенство:
[
1 < n < 6
]
следовательно:
[
n \in {2, 3, 4, 5 }\
Множество В:
[
B= {2, 3, 4, 5}
]
3. Множество С: целые решения неравенства (2n < 8)
Рассмотрим:
[
2n < 8
]
делим обе части на 2:
[
n < 4
]
Область решений — целые числа:
[
n \leq 3
]
и, так как неравенство строгое:
[
n \leq 3
]
Но поскольку условие — целые решения, то:
[
n \in { \dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }
]
Множество С:
[
C = { n \in \mathbb{Z} \mid n \leq 3 }
]
Теперь перечислим:
(A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots })
(B = {2, 3, 4, 5})
(C = { \dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3 })
Далее нужно найти:
- (\mathbf{A \cap B}):
[
A \cap B = { n \in \mathbb{Z} \mid n \ge 0 \text{ и } n \in {2, 3, 4, 5}} = {2, 3, 4, 5}
]
- (\mathbf{A \cap C}):
[
A \cap C = { n \ge 0 } \cap { \dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } = {0, 1, 2, 3}
]
- (\mathbf{B \cap C}):
[
B \cap C = {2, 3, 4, 5} \cap { \dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } = {2, 3}
]
- (\mathbf{A \cup B}):
[
A \cup B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots} \cup {2, 3, 4, 5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots}
]
(так как (A) уже включает все неотрицательные числа, начиная с 0)
- (\mathbf{A \cap C \cap B}):
[
A \cap C \cap B = ({0, 1, 2, 3}) \cap {2, 3, 4, 5} = {2, 3}
]
- (\mathbf{A \cup C}):
[
A \cup C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots} \cup { \dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } = \text{все целые числа} (\mathbb{Z})
]
(так как объединение всех неотрицательных и всех отрицательных чисел — это все целые)
- (\mathbf{A \cup C \cup B}):
[
A \cup C \cup B = \mathbb{Z}
]
(все целые числа)
Ответ:
[
\begin{aligned}
&\text{Множество } A: {0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots} \
&\text{Множество } B: {2, 3, 4, 5} \
&\text{Множество } C: {\dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3} \
&\text{Пересечение } A \cap B: {2, 3, 4, 5} \
&\text{Пересечение } A \cap C: {0, 1, 2, 3} \
&\text{Пересечение } B \cap C: {2, 3} \
&\text{Объединение } A \cup B: {0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots} \
&\text{Пересечение } A \cap B \cap C: {2, 3} \
&\text{Объединение } A \cup C: \mathbb{Z} \
&\text{Объединение } A \cup B \cup C: \mathbb{Z}
\end{aligned}
]
