Найди точку максимума функции y=x^(3)-2x^(2)-7x+8
Решим задачу поиска точки максимума функции \( y = x^3 - 2x^2 - 7x + 8 \).
Шаг 1: Найдём первую производную функции \( y \)
Первая производная показывает наклон (ускорение или замедление роста/убыли функции) и помогает найти её экстремумы (минимумы и максимумы):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 - 7x + 8) = 3x^2 - 4x - 7 \]
Шаг 2: Найдём точки экстрима (критические точки)
Это делается путём приравнивания первой производной к нулю:
\[ 3x^2 - 4x - 7 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ 3x^2 - 4x - 7 = 0 \]
Используем формулу для решения квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a=3 \), \( b=-4 \), \( c=-7 \).
Подставляем:
\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{6} \]
\[ x = \frac{4 \pm 10}{6} \]
Получаем два решения:
- \( x_1 = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33 \)
- \( x_2 = \frac{4 - 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \)
Шаг 3: Определим тип критических точек (максимум или минимум)
Для этого найдём вторую производную:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x - 7) = 6x - 4 \]
Подставим найденные точки:
- Для \( x_1 = \frac{7}{3} \):
\[ y''\left(\frac{7}{3}\right) = 6 \cdot \frac{7}{3} - 4 = 14 - 4 = 10 > 0 \]
Так как в этой точке вторая производная положительна, то это точка локального минимума.
- Для \( x_2 = -1 \):
\[ y''(-1) = 6 \cdot (-1) - 4 = -6 - 4 = -10 < 0 \]
Значит, это точка локального максимума.
Шаг 4: Найдём значение функции в точке максимума \( x = -1 \)
Подставим \( x=-1 \) в исходную функцию:
\[ y(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) + 8 = -1 - 2(1) + 7 + 8 = -1 - 2 + 7 + 8 = 12 \]
Итог:
- Точка максимума есть в \( x = -1 \), а значение функции в ней — 12.
- Точка минимума — в \( x = \frac{7}{3} \), значение можно найти, подставив в исходную функцию, если нужно.
Если нужно, я могу дополнительно найти значение функции в минимальной точке или объяснить подробнее этапы.
