Найди точку максимума функции  y=x^(3)-2x^(2)-7x+8

Решим задачу поиска точки максимума функции \( y = x^3 - 2x^2 - 7x + 8 \). ### Шаг 1: Найдём первую производную функции \( y \) Первая производная показывает наклон (ускорение или замедление роста/убыли функции) и помогает найти её экстремумы (минимумы и максимумы): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 - 7x + 8) = 3x^2 - 4x - 7 \] ### Шаг 2: Найдём точки экстрима (критические точки) Это делается путём приравнивания первой производной к нулю: \[ 3x^2 - 4x - 7 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ 3x^2 - 4x - 7 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=3 \), \( b=-4 \), \( c=-7 \). Подставляем: \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{6} \] \[ x = \frac{4 \pm 10}{6} \] Получаем два решения: - \( x_1 = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33 \) - \( x_2 = \frac{4 - 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \) ### Шаг 3: Определим тип критических точек (максимум или минимум) Для этого найдём вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x - 7) = 6x - 4 \] Подставим найденные точки: - Для \( x_1 = \frac{7}{3} \): \[ y''\left(\frac{7}{3}\right) = 6 \cdot \frac{7}{3} - 4 = 14 - 4 = 10 > 0 \] Так как в этой точке вторая производная положительна, то это точка локального **минимума**. - Для \( x_2 = -1 \): \[ y''(-1) = 6 \cdot (-1) - 4 = -6 - 4 = -10 < 0 \] Значит, это точка локального **максимума**. ### Шаг 4: Найдём значение функции в точке максимума \( x = -1 \) Подставим \( x=-1 \) в исходную функцию: \[ y(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) + 8 = -1 - 2(1) + 7 + 8 = -1 - 2 + 7 + 8 = 12 \] ### Итог: - **Точка максимума** есть в \( x = -1 \), а значение функции в ней — **12**. - **Точка минимума** — в \( x = \frac{7}{3} \), значение можно найти, подставив в исходную функцию, если нужно. --- Если нужно, я могу дополнительно найти значение функции в минимальной точке или объяснить подробнее этапы.