Выполнить переход от ДНФ к СДНФ: Х= АС ̅ ∨ А ̅В ∨ ВС

Давайте подробнее разберем задачу по переходу от дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ) к сокращенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ), которой соответствует минимальное исчерпывающее представление функции. --- ### Исходная функция: \[ Х = АС̅ \ \vee \ А̅В \ \vee \ ВС \] Здесь: - \( А̅ \) — отрицание переменной А, - \( В \) — переменная В, - \( С̅ \) — отрицание переменной С. --- ### Шаг 1. Определение таблицы истинности Строим таблицу истинности по переменным \( А, В, С \). | А | В | С | \( АС̅ \) | \( А̅В \) | \( ВС \) | \( Х \) (Функция) | |---|---|---|------------|------------|----------|-------------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | --- ### Шаг 2. Выбор строк с результатом Х = 1 Наong попадает в таблицу строки 4, 5, 6, 8 (нумеруем от 1, для удобства — это строки для которых \[ Х = 1 \]). | Строка | А | В | С | Значения функций \(\ АС̅ \), \(\ А̅В \), \(\ ВС \) | Х | |---------|---|---|---|---------------------------|---| | 4 | 0 | 1 | 1 | 0, 1, 1 | 1 | | 5 | 1 | 0 | 0 | 1, 0, 0 | 1 | | 6 | 1 | 0 | 1 | 1, 0, 0 | 1 | | 8 | 1 | 1 | 1 | 0, 0, 1 | 1 | --- ### Шаг 3. Записываем минимальные конъюнктивные клаузы (импликанты) Для каждой строки — формируем конъюнкцию переменных, учитывая, какие они в исходной строке: 1. **Строка 4 (\(A=0, B=1, C=1\))** Конъюнкция: \(\ A̅ \, \wedge \, B \, \wedge \, C \) 2. **Строка 5 (\(A=1, B=0, C=0\))** Конъюнкция: \(A \, \wedge \, B̅ \, \wedge \, C̅ \) 3. **Строка 6 (\(A=1, B=0, C=1\))** Конъюнкция: \(A \, \wedge \, B̅ \, \wedge \, C \) 4. **Строка 8 (\(A=1, B=1, C=1\))** Конъюнкция: \(A \, \wedge \, B \, \wedge \, C \) --- ### Шаг 4. Записываем ДНФ как дизъюнкцию всех этих конъюнкций \[ Х = (\ A̅ B C \ ) \vee (A B̅ C̅) \vee (A B̅ C) \vee (A B C) \] Это — исходная ДНФ, из которой нужно получить **СОДНФ** (сокращенную дизъюнктивную нормальную форму). --- ### Шаг 5. Минимизация (метод карт Карно) Объединяем слагаемые с помощью карт Карно или логических закономерностей, чтобы найти минимальную сумму дизъюнкций. Обратим внимание: - В последних двух выражениях есть общие части — \(A \wedge B\). - В выражениях 5 и 6 есть общий компонент \(A \wedge B̅\), и второй — \(C̅\) для 5 и \(C\) для 6. Общий квадратик для 5 и 6 — это: \[ A B̅ (C̅ \vee C) = A B̅ \quad (\ потому что \ C̅ \vee C = 1) \] Итак, \[ A B̅ \] Объединение с выражением 4: \[ A B̅ \vee A̅ B C \vee A B C \] Рассмотрим объединение: - В выражениях \(A B C\) и \(A̅ B C\): обе содержат \(B C\), - Объединим их: \( (A \vee A̅) B C = 1 \times B C = B C \). Теперь выражение: \[ A B̅ \vee B C \] --- ### Итоговая минимальная СДНФ Значит, функция можно представить как: \[ \boxed{ Х = A B̅ \vee B C } \] --- ### **Ответ:** **Минимальная СДНФ функции \(Х\):** \[ \boxed{ Х = A \overline{B} \vee B C } \] Если есть вопросы по логике или нужно дальнейшее объяснение, — обращайтесь!