Определи полную поверхность правильной треугольный пирамиды, если любое ребро пирамиды 3см

Давайте решим задачу и подробно объясним каждый шаг.

Задача:
Определить полную поверхность правильной треугольной пирамиды, если длина любого ребра равна 3 см.

Шаг 1. Что такое правильная треугольная пирамида?

• Она состоит из основания — равностороннего треугольника и треугольных боковых граней, каждая из которых — равносторонний треугольник.
• Все ребра пирамиды имеют одинаковую длину — 3 см.

Шаг 2. Что нужно найти?

Полнугая поверхность — это сумма площадей основания и боковых граней.

Формула полной поверхности \(S_{полн}\):

\[ S_{полн} = S_{основания} + S_{боковых\ граней} \]

где:

• \(S_{основания}\) — площадь основания,
• \(S_{боковых\ граней}\) — сумма площадей боковых равносторонних треугольников.

Шаг 3. Найти площадь основания

Основание — равносторонний треугольник со стороной \(a = 3\) см.

Формула площади равностороннего треугольника:

\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Подставим \(a=3\):

\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]

Шаг 4. Найти площадь боковых граней

Боковые грани — три равносторонних треугольника со стороной 3 см.

Площадь одного бокового треугольника:

\[ S_{бок} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Подставим \(a=3\):

\[ S_{бок} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]

Всего три такие грани, поэтому общая площадь боковых граней:

\[ S_{боковых} = 3 \times \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]

Шаг 5. Найти полную поверхность

Теперь сложим площадь основания и площади боковых граней:

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{боковых} = \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{27\sqrt{3}}{4} = \frac{(9 + 27)\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ:

Полная поверхность правильной треугольной пирамиды со стороной ребра 3 см равна \(9\sqrt{3}\) см².