Задумали двузначное число, которое делится на 18. Когда к этому числу справа приписали его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое делится на 9. Какое число…
Задумали двузначное число, которое делится на 18. Когда к этому числу справа приписали его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое делится на 9. Какое число задумали? Решение.
Рассмотрим задачу шаг за шагом и подробно объясним каждый этап решения.
Дано:
- Задумано двузначное число, которое делится на 18.
- К этому числу справа приписали последнюю цифру, получилось трёхзначное число.
- Полученное число делится на 9.
Шаг 1: Представление числа
Обозначим задуманоё число как \( \textbf{AB} \), где:
- \( A \) — первая цифра (от 1 до 9, так как число двузначное),
- \( B \) — последняя цифра (от 0 до 9).
Тогда число можно записать как: \[ N = 10A + B \]
Шаг 2: Условие делимости на 18
Число делится на 18, если оно делится одновременно и на 2, и на 9.
- Делимость на 2: число должно быть чётным, то есть \( B \) — чётное число (0, 2, 4, 6, 8).
- Делимость на 9: сумма цифр должна делиться на 9: \[ A + B \equiv 0 \ (\text{ mod } 9) \]
Поскольку \( A \) — цифра от 1 до 9, а \( B \) — чётное число, возможные суммы: \[ A + B = 9 \quad \text{или} \quad 18 \]
Но поскольку \( A + B \leq 9 + 8 = 17 \), единственное возможное значение — \( A + B = 9 \).
Следовательно: \[ A + B = 9 \]
Шаг 3: Построение трёхзначного числа
К числу \( N = 10A + B \) справа приписываем его последнюю цифру \( B \). Тогда получаем число:
\[ \textbf{XYZ} = 100 \times (N) + B \] или более точно — чтобы приписать цифру справа, нужно умножить исходное число на 10 и прибавить \( B \):
\[ \textbf{XYZ} = 10 \times N + B \] или, \[ \textbf{XYZ} = 10 \times (10A + B) + B = 100A + 10B + B = 100A + 11B \]
Это трёхзначное число, которое, по условию, делится на 9.
Шаг 4: Делимость полученного числа на 9
Чтобы число \( 100A + 11B \) делилось на 9:
\[ (100A + 11B) \equiv 0 \pmod{9} \]
Можно упростить по модулю 9:
\( 100A \equiv (100 \bmod 9) \times A \)
\( 100 \bmod 9 = 1 \) (так как \( 9 \times 11 = 99 \), разность 1)
\( 11B \equiv (11 \bmod 9) \times B = 2 \times B \)
Тогда:
\[ (100A + 11B) \equiv (1 \times A + 2 \times B) \equiv A + 2B \pmod{9} \]
Требование:
\[ A + 2B \equiv 0 \pmod{9} \]
Шаг 5: Решение системы уравнений
Нам известно:
- \( A + B = 9 \)
- \( A + 2B \equiv 0 \pmod{9} \)
- \( B \) — чётное (0, 2, 4, 6, 8)
Подставляю из первого уравнения \( A = 9 - B \) в условие модуля:
\[ (9 - B) + 2B \equiv 0 \pmod{9} \] \[ 9 + B \equiv 0 \pmod{9} \]
Значит:
\[ B \equiv -9 \pmod{9} \] \[ B \equiv 0 \pmod{9} \]
Так как \( B \) — чётное и делится на 9, единственное подходящее значение — \( B = 0 \).
Теперь найдём \( A \):
\[ A + B = 9 \Rightarrow A + 0 = 9 \Rightarrow A=9 \]
Ответ:
Задуманное число:
\[ N = 10A + B = 10 \times 9 + 0 = 90 \]
Проверка:
- Делимость на 18: число \( 90 \) делится на 18, так как \( 18 \times 5 = 90 \).
- Построение трёхзначного числа: приписываем последнюю цифру \( 0 \):
\[ \text{Новое число} = 100 \times 9 + 11 \times 0 = 900 + 0 = 900 \]
- Делимость на 9: число 900 делится на 9 (так как сумма цифр — 9 + 0 + 0 = 9), и это число трёхзначное.
ИТОГ: задуманное число — 90.
