Задумали двузначное число, которое делится на 18. Когда к этому числу справа приписали его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое делится на 9. Какое число задумали? Решение.

Рассмотрим задачу шаг за шагом и подробно объясним каждый этап решения. **Дано:** - Задумано двузначное число, которое делится на 18. - К этому числу справа приписали последнюю цифру, получилось трёхзначное число. - Полученное число делится на 9. --- ### Шаг 1: Представление числа Обозначим задуманоё число как \( \textbf{AB} \), где: - \( A \) — первая цифра (от 1 до 9, так как число двузначное), - \( B \) — последняя цифра (от 0 до 9). Тогда число можно записать как: \[ N = 10A + B \] --- ### Шаг 2: Условие делимости на 18 Число делится на 18, если оно делится одновременно и на 2, и на 9. - **Делимость на 2:** число должно быть чётным, то есть \( B \) — чётное число (0, 2, 4, 6, 8). - **Делимость на 9:** сумма цифр должна делиться на 9: \[ A + B \equiv 0 \ (\text{ mod } 9) \] Поскольку \( A \) — цифра от 1 до 9, а \( B \) — чётное число, возможные суммы: \[ A + B = 9 \quad \text{или} \quad 18 \] Но поскольку \( A + B \leq 9 + 8 = 17 \), единственное возможное значение — \( A + B = 9 \). Следовательно: \[ A + B = 9 \] --- ### Шаг 3: Построение трёхзначного числа К числу \( N = 10A + B \) справа приписываем его последнюю цифру \( B \). Тогда получаем число: \[ \textbf{XYZ} = 100 \times (N) + B \] или более точно — чтобы приписать цифру справа, нужно умножить исходное число на 10 и прибавить \( B \): \[ \textbf{XYZ} = 10 \times N + B \] или, \[ \textbf{XYZ} = 10 \times (10A + B) + B = 100A + 10B + B = 100A + 11B \] Это трёхзначное число, которое, по условию, делится на 9. --- ### Шаг 4: Делимость полученного числа на 9 Чтобы число \( 100A + 11B \) делилось на 9: \[ (100A + 11B) \equiv 0 \pmod{9} \] Можно упростить по модулю 9: - \( 100A \equiv (100 \bmod 9) \times A \) - \( 100 \bmod 9 = 1 \) (так как \( 9 \times 11 = 99 \), разность 1) - \( 11B \equiv (11 \bmod 9) \times B = 2 \times B \) Тогда: \[ (100A + 11B) \equiv (1 \times A + 2 \times B) \equiv A + 2B \pmod{9} \] Требование: \[ A + 2B \equiv 0 \pmod{9} \] --- ### Шаг 5: Решение системы уравнений Нам известно: 1. \( A + B = 9 \) 2. \( A + 2B \equiv 0 \pmod{9} \) 3. \( B \) — чётное (0, 2, 4, 6, 8) Подставляю из первого уравнения \( A = 9 - B \) в условие модуля: \[ (9 - B) + 2B \equiv 0 \pmod{9} \] \[ 9 + B \equiv 0 \pmod{9} \] Значит: \[ B \equiv -9 \pmod{9} \] \[ B \equiv 0 \pmod{9} \] Так как \( B \) — чётное и делится на 9, единственное подходящее значение — \( B = 0 \). Теперь найдём \( A \): \[ A + B = 9 \Rightarrow A + 0 = 9 \Rightarrow A=9 \] --- ### **Ответ:** Задуманное число: \[ N = 10A + B = 10 \times 9 + 0 = 90 \] --- ### **Проверка:** 1. **Делимость на 18**: число \( 90 \) делится на 18, так как \( 18 \times 5 = 90 \). 2. **Построение трёхзначного числа**: приписываем последнюю цифру \( 0 \): \[ \text{Новое число} = 100 \times 9 + 11 \times 0 = 900 + 0 = 900 \] 3. **Делимость на 9**: число 900 делится на 9 (так как сумма цифр — 9 + 0 + 0 = 9), и это число трёхзначное. --- **ИТОГ: задуманное число — 90.**