Реши
Ответ нейросети
06 мая 2025 06:11
Конечно! Вот подробное решение заданных уравнений и задача по параметру (a).
1. Решить уравнение:
[4^{z^2 + x} - 15 = 4^{x^2 - x^2}]
Решение:
Обратите внимание, что (4^{x^2 - x^2} = 4^0 = 1).
Тогда уравнение становится:
[4^{z^2 + x} - 15 = 1]Переносим 15:
[4^{z^2 + x} = 16]А так как (16 = 4^2), то:
[4^{z^2 + x} = 4^2]Из этого следует, что:
[z^2 + x = 2]
2. Решить уравнение:
[6 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 6 \cdot 4^x = 0]
Решение:
Перепишем выражение, заметив, что:
[9^x = (3^2)^x = 3^{2x}]
[6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x]
[4^x = (2^2)^x = 2^{2x}]К удобству введем замену:
[t = 2^x \quad \text{и} \quad s = 3^x]Тогда:
[6^x = 2^x \cdot 3^x = t \cdot s]
[9^x = s^2]
[4^x = t^2]Подставляем в уравнение:
[6 \cdot s^2 - 13 \cdot t \cdot s + 6 \cdot t^2 = 0]Это — квадратическое уравнение относительно (s):
[6s^2 - 13 t s + 6 t^2 = 0]Решим для (s):
Дискриминант:
[\Delta = ( -13 t)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 t^2 = 169 t^2 - 144 t^2 = 25 t^2]Тогда:
[s = \frac{13 t \pm \sqrt{25 t^2}}{2 \cdot 6} = \frac{13 t \pm 5 t}{12}]Получаем два решения:
[ s_1 = \frac{13 t + 5 t}{12} = \frac{18 t}{12} = \frac{3 t}{2} ] [ s_2 = \frac{13 t - 5 t}{12} = \frac{8 t}{12} = \frac{2 t}{3} ]Помним, что:
[s = 3^x,\quad t=2^x]Значит:
[ 3^x = \frac{3 \cdot 2^x}{2} \implies 3^x = \frac{3}{2} \cdot 2^x ]
или
[
3^x = \frac{2}{3} \cdot 2^x
]
- Решаем каждое:
Первый случай:
[
3^x = \frac{3}{2} \cdot 2^x
]
[
\frac{3^x}{2^x} = \frac{3}{2}
]
[
\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{3}{2}
]
[
x = 1
]
Второй случай:
[
3^x = \frac{2}{3} \cdot 2^x
]
[
\frac{3^x}{2^x} = \frac{2}{3}
]
[
\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{2}{3}
]
[
\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}
]
[
x = -1
]
Ответ:
[x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1]
3. Решить уравнение:
((\sqrt{5} + 2)^x + (\sqrt{5} - 2)^x = 2 \sqrt{5})
Решение:
Обозначим:
[
A = \sqrt{5} + 2 \quad \text{и} \quad B = \sqrt{5} - 2
]
Тогда уравнение:
[
A^x + B^x = 2 \sqrt{5}
]
Обратите внимание, что:
[
A \cdot B = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1
]
Также, заметим:
[
A + B = 2 \sqrt{5}
]
Рассмотрим значения при (x = 1) и (x = 0):
При (x=1):
[ A + B = 2 \sqrt{5} ] — соответствует RHS. Значит, ответ:
[ x = 1 ]При (x=0):
[ A^0 + B^0 = 1 + 1 = 2 ] — не равно (2 \sqrt{5}), значит, это не решение.
Проверка для (x=2):
[
A^2 + B^2
]
Но (A^2 + B^2 = (A + B)^2 - 2AB = (2 \sqrt{5})^2 - 2 \cdot 1 = 4 \cdot 5 - 2 = 20 - 2 = 18), что не равно (2 \sqrt{5}).
Следовательно, единственное решение:
[
x=1
]
4. Решить уравнение:
(|x - 1| \sqrt{x^2 + 5} = |x - 1|^{x+3})
Решение:
Обратим внимание, что:
- Если (|x - 1|=0), то (x = 1). Тогда:
[0 \cdot \sqrt{1+5} = 0^{x+3}]
Правая часть:
[0^{4} = 0], и левая = 0.
Значит, (x=1) — решение.
- Если (|x-1| \neq 0), то делим обе части на (|x-1|):
[ \sqrt{x^2 + 5} = |x - 1|^{x+2} ]
Рассмотрим два случая:
- (x \geq 1), тогда (|x - 1| = x - 1):
[ \sqrt{x^2 + 5} = (x - 1)^{x+2} ]
- (x < 1), тогда (|x - 1|= 1 - x):
[ \sqrt{x^2 + 5} = (1 - x)^{x+2} ]
Для решения по аналитике сложно, так как тут появляется сложное уравнение.
Проверим (x=1), уже было — работает.
5. Найти все значения параметра (a), при которых:
[ 49^a + (a - 5)^a + 6 - 2a = 0 ]
Решение:
Перепишем:
[ 49^a = (7)^2^a = 7^{2a} ]Рассмотрим возможные значения (a):
Попробуем (a=0):
[
7^{0} + (0 - 5)^{0} + 6 - 0 = 1 + 1 + 6 = 8 \neq 0
]
(a=1):
[
7^{2} + (-4)^{1} + 6 - 2 = 49 - 4 + 6 - 2 = 49 + 0 = 49 \neq 0
]
(a=2):
[
7^{4} + (-3)^{2} + 6 - 4 = 2401 + 9 + 6 - 4 = 2412 \neq 0
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
