Реши
Конечно! Вот подробное решение заданных уравнений и задача по параметру \(a\).
1. Решить уравнение:
\[4^{z^2 + x} - 15 = 4^{x^2 - x^2}\]
Решение:
Обратите внимание, что \(4^{x^2 - x^2} = 4^0 = 1\).
Тогда уравнение становится:
\[4^{z^2 + x} - 15 = 1\]Переносим 15:
\[4^{z^2 + x} = 16\]А так как \(16 = 4^2\), то:
\[4^{z^2 + x} = 4^2\]Из этого следует, что:
\[z^2 + x = 2\]
2. Решить уравнение:
\[6 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 6 \cdot 4^x = 0\]
Решение:
Перепишем выражение, заметив, что:
\[9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\]
\[6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x\]
\[4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\]К удобству введем замену:
\[t = 2^x \quad \text{и} \quad s = 3^x\]Тогда:
\[6^x = 2^x \cdot 3^x = t \cdot s\]
\[9^x = s^2\]
\[4^x = t^2\]Подставляем в уравнение:
\[6 \cdot s^2 - 13 \cdot t \cdot s + 6 \cdot t^2 = 0\]Это — квадратическое уравнение относительно \(s\):
\[6s^2 - 13 t s + 6 t^2 = 0\]Решим для \(s\):
Дискриминант:
\[\Delta = ( -13 t)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 t^2 = 169 t^2 - 144 t^2 = 25 t^2\]Тогда:
\[s = \frac{13 t \pm \sqrt{25 t^2}}{2 \cdot 6} = \frac{13 t \pm 5 t}{12}\]Получаем два решения:
\[ s_1 = \frac{13 t + 5 t}{12} = \frac{18 t}{12} = \frac{3 t}{2} \] \[ s_2 = \frac{13 t - 5 t}{12} = \frac{8 t}{12} = \frac{2 t}{3} \]Помним, что:
\[s = 3^x,\quad t=2^x\]Значит:
\[ 3^x = \frac{3 \cdot 2^x}{2} \implies 3^x = \frac{3}{2} \cdot 2^x \]
или
\[
3^x = \frac{2}{3} \cdot 2^x
\]
- Решаем каждое:
Первый случай:
\[
3^x = \frac{3}{2} \cdot 2^x
\]
\[
\frac{3^x}{2^x} = \frac{3}{2}
\]
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{3}{2}
\]
\[
x = 1
\]
Второй случай:
\[
3^x = \frac{2}{3} \cdot 2^x
\]
\[
\frac{3^x}{2^x} = \frac{2}{3}
\]
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{2}{3}
\]
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}
\]
\[
x = -1
\]
Ответ:
\[x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1\]
3. Решить уравнение:
\((\sqrt{5} + 2)^x + (\sqrt{5} - 2)^x = 2 \sqrt{5}\)
Решение:
Обозначим:
\[
A = \sqrt{5} + 2 \quad \text{и} \quad B = \sqrt{5} - 2
\]
Тогда уравнение:
\[
A^x + B^x = 2 \sqrt{5}
\]
Обратите внимание, что:
\[
A \cdot B = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1
\]
Также, заметим:
\[
A + B = 2 \sqrt{5}
\]
Рассмотрим значения при \(x = 1\) и \(x = 0\):
При \(x=1\):
\[ A + B = 2 \sqrt{5} \] — соответствует RHS. Значит, ответ:
\[ x = 1 \]При \(x=0\):
\[ A^0 + B^0 = 1 + 1 = 2 \] — не равно \(2 \sqrt{5}\), значит, это не решение.
Проверка для \(x=2\):
\[
A^2 + B^2
\]
Но \(A^2 + B^2 = (A + B)^2 - 2AB = (2 \sqrt{5})^2 - 2 \cdot 1 = 4 \cdot 5 - 2 = 20 - 2 = 18\), что не равно \(2 \sqrt{5}\).
Следовательно, единственное решение:
\[
x=1
\]
4. Решить уравнение:
\(|x - 1| \sqrt{x^2 + 5} = |x - 1|^{x+3}\)
Решение:
Обратим внимание, что:
- Если \(|x - 1|=0\), то \(x = 1\). Тогда:
\[0 \cdot \sqrt{1+5} = 0^{x+3}\]
Правая часть:
\[0^{4} = 0\], и левая = 0.
Значит, \(x=1\) — решение.
- Если \(|x-1| \neq 0\), то делим обе части на \(|x-1|\):
\[ \sqrt{x^2 + 5} = |x - 1|^{x+2} \]
Рассмотрим два случая:
- \(x \geq 1\), тогда \(|x - 1| = x - 1\):
\[ \sqrt{x^2 + 5} = (x - 1)^{x+2} \]
- \(x < 1\), тогда \(|x - 1|= 1 - x\):
\[ \sqrt{x^2 + 5} = (1 - x)^{x+2} \]
Для решения по аналитике сложно, так как тут появляется сложное уравнение.
Проверим \(x=1\), уже было — работает.
5. Найти все значения параметра \(a\), при которых:
\[ 49^a + (a - 5)^a + 6 - 2a = 0 \]
Решение:
Перепишем:
\[ 49^a = (7)^2^a = 7^{2a} \]Рассмотрим возможные значения \(a\):
Попробуем \(a=0\):
\[
7^{0} + (0 - 5)^{0} + 6 - 0 = 1 + 1 + 6 = 8 \neq 0
\]
\(a=1\):
\[
7^{2} + (-4)^{1} + 6 - 2 = 49 - 4 + 6 - 2 = 49 + 0 = 49 \neq 0
\]
\(a=2\):
[
7^{4} + (-3)^{2} + 6 - 4 = 2401 + 9 + 6 - 4 = 2412 \neq 0
