Давайте внимательно разберем задачу и решим ее поэтапно.
Дано:
- Первый участок дороги: 150 км, скорость: ( v ) (неизвестная, которую нужно найти).
- Второй участок дороги: 240 км, скорость: ( v + 5 ) км/ч.
- Общее время в пути: 5 часов.
Найти: первоначальную скорость ( v ).
Шаг 1. Запишем уравнение для времени на каждом участке
Время на первом участке:
[
t_1 = \frac{150}{v}
]
Время на втором участке:
[
t_2 = \frac{240}{v + 5}
]
Общее время:
[
t_1 + t_2 = 5 \text{ часов}
]
Подставим:
[
\frac{150}{v} + \frac{240}{v + 5} = 5
]
Шаг 2. Решим полученное уравнение
Упростим уравнение:
[
\frac{150}{v} + \frac{240}{v + 5} = 5
]
Домножим обе части уравнения на ( v (v + 5) ), чтобы избавиться от знаменателей:
[
150 (v + 5) + 240 v = 5 v (v + 5)
]
Раскроем скобки:
[
150 v + 150 \times 5 + 240 v = 5 v^2 + 25 v
]
Вычислим ( 150 \times 5 = 750 ):
[
150 v + 750 + 240 v = 5 v^2 + 25 v
]
Объединим подобные слагаемые по ( v ):
[
(150 v + 240 v) + 750 = 5 v^2 + 25 v
]
Суммируем:
[
390 v + 750 = 5 v^2 + 25 v
]
Перенесем все в одну сторону уравнения:
[
0 = 5 v^2 + 25 v - 390 v - 750
]
Упростим:
[
0 = 5 v^2 - 365 v - 750
]
Разделим все уравнение на 5:
[
0 = v^2 - 73 v - 150
]
Шаг 3. Решим квадратное уравнение
Общее уравнение:
[
v^2 - 73 v - 150 = 0
]
Дискриминант:
[
D = ( -73 )^2 - 4 \times 1 \times (-150) = 5329 + 600 = 5929
]
Найдем корни:
[
v = \frac{73 \pm \sqrt{5929}}{2}
]
Посчитаем (\sqrt{5929}):
[
\sqrt{5929} = 77
]
Тогда:
[
v = \frac{73 \pm 77}{2}
]
Рассмотрим два варианта:
- ( v = \frac{73 + 77}{2} = \frac{150}{2} = 75 )
- ( v = \frac{73 - 77}{2} = \frac{-4}{2} = -2 )
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем:
[
\boxed{v = 75 \text{ км/ч}}
]
Ответ:
Первоначальная скорость автомобиля — 75 км/ч.
Если нужно — я могу пояснить подробнее любой шаг.
