Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 17 Найди высоту трапеции.
Понятно, давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
Радиус вписанной окружности равен \( r = 17 \).
Требуется найти высоту трапеции \( h \).
Общие сведения и свойства
- В равнобедренной трапеции можно провести вписанную окружность, если сумма боковых сторон равна сумме оснований.
- Радиус вписанной окружности \( r \) связан с площадью \( S \) и полупериметром \( p \) через формулу:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где
\( p = \frac{a + b + c + d}{2} \) — полупериметр, а \( a, b \) — основания, \( c, d \) — боковые стороны.
Шаг 1. Обозначения
Пусть:
- \( AB \) и \( CD \) — основания трапеции, где \( AB \) — верхнее основание, \( CD \) — нижнее.
- Высота трапеции — \( h \).
- Боковые стороны равны \( c = d \) (так как трапеция равнобедренная).
Шаг 2. Связь площадью и радиусом
Площадь трапеции:
\[
S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h
\]
Полупериметр:
\[
p = \frac{AB + CD + 2c}{2}
\]
Так как окружность вписана, по свойству трапеции:
\[
AB + CD = 2c
\]
Это условие необходимо для существования вписанной окружности — сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Следовательно:
\[
AB + CD = 2c
\]
Шаг 3. Выражение площади через известные параметры
Используем:
\[
S = r \times p
\]
Поскольку \( p = \frac{AB + CD + 2c}{2} \), и \( AB + CD = 2c \), то:
\[
p = \frac{2c + 2c}{2} = 2c
\]
Следовательно:
\[
S = r \times p = 17 \times 2c = 34c
\]
А также:
\[
S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h
\]
Но \( AB + CD = 2c \), поэтому:
\[
S = c \times h
\]
Равенство двух выражений для площади:
\[
c \times h = 34c
\]
Отсюда:
\[
h = 34
\]
Ответ: высота трапеции равна 34.
Если потребуется более подробное объяснение или есть уточнения, пишите!
