Окружность касается сторон треугольника длины которых равны 7,9 и 12. Найдите длину наименьшего из отрезков , на которые точка касания делит сторону , равную 7.

Давайте разберём задачу поэтапно. **Дано:** - Треугольник с сторонами: 7, 9 и 12. - Есть вписанная окружность (описанная внутри треугольника), которая касается всех его сторон. - Обозначим стороны: \( BC = 7 \), \( AC = 9 \), \( AB = 12 \). - Точка касания окружности с каждой стороной делит эту сторону на два отрезка. - Нас просят найти длину наименьшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 7. --- ### Шаг 1. Определение сторон и позиций Пусть: - \( BC = 7 \), - \( AC = 9 \), - \( AB = 12 \). Обозначим стороны: - \( a = BC = 7 \), - \( b = AC = 9 \), - \( c = AB = 12 \). Точка касания окружности с стороной \( a \) обозначим как \( D \), а она делит сторону \( BC \) на два отрезка: \( BD \) и \( DC \). Аналогично: - \( E \) — точка касания со стороной \( AC \), - \( F \) — точка касания со стороной \( AB \). --- ### Шаг 2. Свойства точек касания вписанной окружности Вписанная окружность касается каждой стороны в точке, которая делит сторону так, что: - Если окружность касается стороны \( BC \) в точке \( D \), то: \[ BD = s - b, \quad DC = s - c, \] где \( s \) — полупериметр треугольника. Аналогично для остальных сторон: - На стороне \( AC \), касание в точке \( E \): \[ AE = s - a, \quad EC = s - c, \] - На стороне \( AB \), касание в точке \( F \): \[ AF = s - a, \quad FB = s - b. \] Итак, для стороны \( BC \) (длиной 7): \[ BD = s - b, \quad DC = s - c. \] И для стороны \( AC \) (длиной 9): \[ AE = s - a, \quad EC = s - c. \] Для стороны \( AB \) (длиной 12): \[ AF = s - a, \quad FB = s - b. \] --- ### Шаг 3. Найдём полупериметр и \( s \) Полупериметр: \[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 9 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14. \] Теперь вычислим отрезки деления сторон касательными: - \( BC = 7 \): \[ BD = s - b = 14 - 9 = 5, \] \[ DC = s - c = 14 - 12 = 2. \] Проверка: \(BD + DC = 5 + 2 = 7\) — верно. --- ### Шаг 4. Ответ на вопрос Задача просит найти **наименьший из отрезков**, на которые точка касания делит сторону длины 7 — то есть отрезок \( BD \), или \( DC \). Из вычислений: - \( BD = 5 \), - \( DC = 2 \). Наименьший из этих отрезков — **2**. --- ## Итог: **Ответ: 2** --- Если нужно, я могу дополнительно пояснить каждый шаг или помочь с другими задачами!