7*. Решите уравнение:х2 + x3 - 8x - 8 = 0

Рассмотрим уравнение:
\[ x^2 + x^3 - 8x - 8 = 0 \]

Цель — понять, как его решить пошагово.

Шаг 1: Перепишем уравнение

Чтобы было удобно, приведем его к стандартному виду:
\[ x^3 + x^2 - 8x - 8 = 0 \]

Шаг 2: Поиск рациональных корней с помощью теоремы Виетта

Теорема Виетта говорит, что рациональный корень уравнения — это делитель свободного члена (-8), делитель старшего коэффициента (1).
Делители -8: \(\pm1, \pm2, \pm4, \pm8\).

Проверим каждый из них, подставляя в уравнение.

Шаг 3: Проверка возможных корней

Подставим \(x=1\):

\[1^3 + 1^2 - 8 \times 1 - 8 = 1 + 1 - 8 - 8 = -14 \neq 0\]

Подставим \(x=-1\):

\[-1 + 1 + 8 - 8 = 0 \Rightarrow \text{Да!}\]

Значит, \(x = -1\) — это корень уравнения.

Шаг 4: Деление на \((x + 1)\)

Теперь делим исходное уравнение на \((x + 1)\), чтобы найти оставшиеся корни.

Используем многочленная деление или схему Горнера.

Шаг 5: Деление многочлена

Делим \(x^3 + x^2 - 8x - 8\) на \((x + 1)\):

Обратим внимание:

• Первый коэффициент делим на \(x\), далее по схеме Горнера.

Выполним деление:

\[ \begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & 1 & -8 & -8 \\ & & -1 & 0 & 8 \\ \hline & 1 & 0 & -8 & 0 \\ \end{array} \]

Ответ: многочлен делится на \((x+1)\), и остаток равен 0. Частное — \(x^2 - 8\).

Значит:
\[ x^3 + x^2 - 8x -8 = (x+1)(x^2 - 8) \]

Шаг 6: Решение уравнения

Получили разложение:
\[ (x + 1)(x^2 - 8) = 0 \]

Решаем каждое из уравнений:

1. \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)

2. \(x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\)

Итог: Ответ

Решения уравнения:
\[ \boxed{ x = -1, \quad x = 2\sqrt{2}, \quad x = -2\sqrt{2} } \]

Если есть дополнительные вопросы — спрашивайте!