7*. Решите уравнение:х2 + x3 - 8x - 8 = 0

Рассмотрим уравнение: \[ x^2 + x^3 - 8x - 8 = 0 \] Цель — понять, как его решить пошагово. --- ### Шаг 1: Перепишем уравнение Чтобы было удобно, приведем его к стандартному виду: \[ x^3 + x^2 - 8x - 8 = 0 \] --- ### Шаг 2: Поиск рациональных корней с помощью теоремы Виетта Теорема Виетта говорит, что рациональный корень уравнения — это делитель свободного члена (-8), делитель старшего коэффициента (1). Делители -8: \(\pm1, \pm2, \pm4, \pm8\). Проверим каждый из них, подставляя в уравнение. --- ### Шаг 3: Проверка возможных корней Подставим \(x=1\): \[1^3 + 1^2 - 8 \times 1 - 8 = 1 + 1 - 8 - 8 = -14 \neq 0\] Подставим \(x=-1\): \[-1 + 1 + 8 - 8 = 0 \Rightarrow \text{Да!}\] Значит, \(x = -1\) — это корень уравнения. --- ### Шаг 4: Деление на \((x + 1)\) Теперь делим исходное уравнение на \((x + 1)\), чтобы найти оставшиеся корни. Используем многочленная деление или схему Горнера. --- ### Шаг 5: Деление многочлена Делим \(x^3 + x^2 - 8x - 8\) на \((x + 1)\): Обратим внимание: - Первый коэффициент делим на \(x\), далее по схеме Горнера. Выполним деление: \[ \begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & 1 & -8 & -8 \\ & & -1 & 0 & 8 \\ \hline & 1 & 0 & -8 & 0 \\ \end{array} \] Ответ: многочлен делится на \((x+1)\), и остаток равен 0. Частное — \(x^2 - 8\). Значит: \[ x^3 + x^2 - 8x -8 = (x+1)(x^2 - 8) \] --- ### Шаг 6: Решение уравнения Получили разложение: \[ (x + 1)(x^2 - 8) = 0 \] Решаем каждое из уравнений: 1. \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) 2. \(x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\) --- ### Итог: **Ответ** Решения уравнения: \[ \boxed{ x = -1, \quad x = 2\sqrt{2}, \quad x = -2\sqrt{2} } \] Если есть дополнительные вопросы — спрашивайте!