Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Задача:
В скрещенных электрическом и магнитном полях движется частица (ядро гелия) по прямой, если ее начальная скорость выбрана правильно. Требуется найти эту начальную скорость.
Дано:
- Напряженность электрического поля: (E = 4, \text{кВ/м} = 4000, \text(В/м))
- Индукция магнитного поля: (B = 80, \text{мТл} = 0{,}08, \text{Тл})
- Параметры частицы: ядро гелия (масса и заряд см.ниже)
Шаг 1. Определим заряд и массу ядра гелия
Ядро гелия — это (^{4}\text{He}):
Заряд ядра: (q = 2e), где (e = 1{,}6 \times 10^{-19}, \text{Кл})
[
q = 2 \times 1{,}6 \times 10^{-19} = 3{,}2 \times 10^{-19}, \text{Кл}
]
Масса ядра:
Масса протона примерно (1{,}67 \times 10^{-27}, \кг), у гелия — примерно 4 протона и 2 нейтрона, итого масса:
[
m \approx 4 \times 1{,}67 \times 10^{-27} = 6{,}68 \times 10^{-27}, \text{кг}
]
Шаг 2. Запомним основные силы
Частица в скрещенных полях испытывает силу:
[
\vec{F} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B}
]
Чтобы движение было прямолинейным, необходимо, чтобы эти силы компенсировали друг друга векторно.
Шаг 3. Условие для прямолинейного движения
Движение будет прямолинейным, если результирующая сила равна нулю:
[
q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B} = 0
]
или
[
\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0
]
Поскольку векторы (\vec{E}) и (\vec{B}) перпендикулярны, и для простоты возьмем направление так:
- Направление электрического поля (\vec{E}) – по, скажем, оси (x)
- Магнитное поле (\vec{B}) – по оси (z)
- Тогда для того, чтобы сила внутри единичной частицы не мешала движению по прямой, скорость должна иметь определенное направление.
Нам нужно найти начальную скорость (v), направленную так, чтобы силы компенсировали друг друга.
Шаг 4. Условие по векторам
Пусть:
[
\vec{E} = E \hat{x}
]
[
\vec{B} = B \hat{z}
]
[
\vec{v} = v \hat{y}
]
Тогда:
[
\vec{v} \times \vec{B} = v \hat{y} \times B \hat{z} = v B (\hat{y} \times \hat{z}) = v B \hat{x}
]
(так как (\hat{y} \times \hat{z} = \hat{x})).
Подставляя в условие равенства сил нулю:
[
E \hat{x} + v B \hat{x} = 0
]
[
E + v B = 0
]
Решаем для (v):
[
v = - \frac{E}{B}
]
Знак минус указывает, что направление скорости должно быть противоположным направлению электрического поля для компенсации силы магнитом. Так как в условии важно определить роковую величину скорости, берём модуль:
[
v = \frac{E}{B}
]
Шаг 5. Подставляем численные значения
[
v = \frac{4000, \text{В/м}}{0{,}08, \text{Тл}}
]
Обратите внимание, что при делении врахуется, что (1, \text{В/м} = 1, \text{Кл}/(\text{м}^2)), и необходимо получить скорость в м/с.
Используем прямо:
[
v = \frac{E}{B}
]
[
v = \frac{4000, \text{В/м}}{0{,}08, \text{Тл}}
]
Значение (E/B) в единицах м/с:
[
v = \frac{4000, \text{В/м}}{0,08, \text{Тл}}
]
Поскольку (1, \text{Тл} = 1, \text{В} \cdot \text{с}/\text{м}^2), то:
[
v = \frac{E}{B} = \frac{4000, \text{В/м}}{0,08, \text{Тл}} = \frac{4000}{0,08}, \text{м/с} = 50,000, \text{м/с}
]
Ответ:
Минимальная начальная скорость частицы, чтобы её движение в скрещённых полях было прямолинейным:
[
\boxed{
v \approx 50,000, \text{м/с} = 50, \text{км/с}
}
]
Если нужно, я могу помочь еще с объяснением деталей или другими вариантами решения!
