Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 40 40 . Найди объём второй пирамиды, если известно, что её высота в 4 4 раза больше, а сторона основания…

Давайте разберём задачу пошагово.

Дано:

• Две правильные четырёхугольные пирамиды (то есть пирамиды с квадратным основанием).
• Объём первой пирамиды \( V_1 = 40 \).
• Высота второй пирамиды в 4 раза больше, чем высота первой.
• Длина стороны основания второй пирамиды в 1,5 раза больше, чем у первой.

Необходимое найти:
Объём второй пирамиды \( V_2 \).

Шаг 1: Обозначим обозначения

Обозначим для первой пирамиды:

• сторону основания = \( a_1 \)
• высоту = \( h_1 \)

Для второй пирамиды:

• сторону основания = \( a_2 \) = \( 1.5 a_1 \)
• высоту = \( h_2 \) = \( 4 h_1 \)

Шаг 2: Формула объёма правильной пирамиды

Объём правильной пирамиды с квадратным основанием:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота} \] Площадь основания (\( S \)) равна:
\[ S = a^2 \] Следовательно:
\[ V = \frac{1}{3} a^2 h \]

Шаг 3: Используем известное значение объёма первой пирамиды

\[ V_1 = \frac{1}{3} a_1^2 h_1 = 40 \]

Из этого выражения можно выразить \( a_1^2 h_1 \):
\[ a_1^2 h_1 = 3 \times 40 = 120 \]

Шаг 4: Выразим объём второй пирамиды

\[ V_2 = \frac{1}{3} a_2^2 h_2 \]

Подставляем \( a_2 = 1.5 a_1 \), а \( h_2 = 4 h_1 \):
\[ V_2 = \frac{1}{3} (1.5 a_1)^2 \times 4 h_1 \]

Раскроем скобки:
\[ V_2 = \frac{1}{3} \times (1.5)^2 a_1^2 \times 4 h_1 \]

Значение \( (1.5)^2 = 2.25 \):
\[ V_2 = \frac{1}{3} \times 2.25 a_1^2 \times 4 h_1 \]

Перемножим числа:
\[ \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3} \] Итого:
\[ V_2 = 2.25 a_1^2 \times \frac{4}{3} h_1 \]

Объединим:
\[ V_2 = 2.25 \times \frac{4}{3} \times a_1^2 h_1 \]

Теперь вычислим:
\[ 2.25 \times \frac{4}{3} = 2.25 \times \frac{4}{3} \]

Переведём в дробь: 2.25 = \( \frac{9}{4} \)

Тогда:
\[ \frac{9}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{9}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{9 \times 4}{4 \times 3} = \frac{36}{12} = 3 \]

Следовательно:
\[ V_2 = 3 \times a_1^2 h_1 \]

Из шага 3 мы знаем, что \( a_1^2 h_1 = 120 \). Значит:
\[ V_2 = 3 \times 120 = 360 \]

Ответ:

\[ \boxed{ \boxed{V_2 = 360} } \]

Объём второй пирамиды равен 360.