Давайте разберём задачу пошагово.
Дано:
- Две правильные четырёхугольные пирамиды (то есть пирамиды с квадратным основанием).
- Объём первой пирамиды ( V_1 = 40 ).
- Высота второй пирамиды в 4 раза больше, чем высота первой.
- Длина стороны основания второй пирамиды в 1,5 раза больше, чем у первой.
Необходимое найти:
Объём второй пирамиды ( V_2 ).
Шаг 1: Обозначим обозначения
Обозначим для первой пирамиды:
- сторону основания = ( a_1 )
- высоту = ( h_1 )
Для второй пирамиды:
- сторону основания = ( a_2 ) = ( 1.5 a_1 )
- высоту = ( h_2 ) = ( 4 h_1 )
Шаг 2: Формула объёма правильной пирамиды
Объём правильной пирамиды с квадратным основанием:
[
V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота}
]
Площадь основания (( S )) равна:
[
S = a^2
]
Следовательно:
[
V = \frac{1}{3} a^2 h
]
Шаг 3: Используем известное значение объёма первой пирамиды
[
V_1 = \frac{1}{3} a_1^2 h_1 = 40
]
Из этого выражения можно выразить ( a_1^2 h_1 ):
[
a_1^2 h_1 = 3 \times 40 = 120
]
Шаг 4: Выразим объём второй пирамиды
[
V_2 = \frac{1}{3} a_2^2 h_2
]
Подставляем ( a_2 = 1.5 a_1 ), а ( h_2 = 4 h_1 ):
[
V_2 = \frac{1}{3} (1.5 a_1)^2 \times 4 h_1
]
Раскроем скобки:
[
V_2 = \frac{1}{3} \times (1.5)^2 a_1^2 \times 4 h_1
]
Значение ( (1.5)^2 = 2.25 ):
[
V_2 = \frac{1}{3} \times 2.25 a_1^2 \times 4 h_1
]
Перемножим числа:
[
\frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}
]
Итого:
[
V_2 = 2.25 a_1^2 \times \frac{4}{3} h_1
]
Объединим:
[
V_2 = 2.25 \times \frac{4}{3} \times a_1^2 h_1
]
Теперь вычислим:
[
2.25 \times \frac{4}{3} = 2.25 \times \frac{4}{3}
]
Переведём в дробь: 2.25 = ( \frac{9}{4} )
Тогда:
[
\frac{9}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{9}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{9 \times 4}{4 \times 3} = \frac{36}{12} = 3
]
Следовательно:
[
V_2 = 3 \times a_1^2 h_1
]
Из шага 3 мы знаем, что ( a_1^2 h_1 = 120 ). Значит:
[
V_2 = 3 \times 120 = 360
]
Ответ:
[
\boxed{
\boxed{V_2 = 360}
}
]
Объём второй пирамиды равен 360.
