Найдите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды сторона основания 8 высота 3. вычислить обьём пирамиды

Давайте разберем задачу по шагам. **Дано:** - Тип фигуры: правильная четырехугольная пирамида (основание — квадрат) - Сторона основания (а): 8 - Высота пирамиды (h): 3 **Задача:** 1. Найти площадь полной поверхности пирамиды. 2. Вычислить объем пирамиды. --- ## Шаг 1. Найти площадь основания (площадь квадрата) Площадь квадрата — это сторона в квадрате: \[ A_{основания} = a^2 = 8^2 = 64 \] --- ## Шаг 2. Найти площадь боковой поверхности Пирамида имеет 4 равные боковые треугольные стороны. Нужно найти площадь одного бокового треугольника и умножить на 4. ### 2.1. Найти высоту бокового треугольника Высота основания треугольника — это апофема (площадь боковой стороны). Но сначала надо определить ребро бокового треугольника (склонение стороны) или высоту бокового треугольника. Для этого нужно найти **образующий сегмент** для боковой грани. --- ## Шаг 3. Найти апофему бокового треугольника Дано: высота пирамиды \(h = 3\), стороны основания \(a=8\). Рассмотрим центр основания — он находится на расстоянии \(a/2 = 4\) от любой стороны. Высота бокового треугольника — это наклоненная грань, которая опирается на сторону основания. ### 3.1. Найти длину рёбер боковой грани (образующего треугольника) Рассмотрим прямую, от вершины пирамиды до центра основания. Расстояние от центра до любой стороны — 4 (половина стороны основания). Построим соотношения: - Высота пирамиды \(h = 3\), - Расстояние от центра основания до вершины — это гипотенуза в треугольнике, где катеты — \(h=3\) и \(a/2=4\). Общая высота бокового треугольника — это гипотенуза: \[ l = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Это — длина образующей боковой стороны пирамиды (образующая треугольника, который образует боковую грань). --- ## Шаг 4. Найти площадь боковых треугольников Площадь одного бокового треугольника: \[ A_{бокового} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{ высота бокового треугольника} \] Но нам нужно найти высоту бокового треугольника (касающуюся вершины). Это высота равнобедренного треугольника с основания 8 и боковыми ребрами 5. Высота бокового треугольника (h_b) по призме: \[ h_b = \sqrt{ l^2 - (a/2)^2 } = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \] Обратите внимание, что в данном случае, высота бокового треугольника равна высоте пирамиды, что логично — они равны. --- ## Шаг 5. Найти площадь одного бокового треугольника Площадь: \[ A_{бокового} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \] Общая боковая площадь (4 треугольника): \[ A_{боковая} = 4 \times 12 = 48 \] --- ## Шаг 6. Площадь полной поверхности Площадь полной поверхности — сумма площади основания и боковой поверхности: \[ A_{полная} = A_{основания} + A_{боковая} = 64 + 48 = 112 \] --- ## Шаг 7. Найти объем пирамиды Объем правильной пирамиды рассчитывается по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times высота \] \[ V = \frac{1}{3} \times 64 \times 3 = \frac{1}{3} \times 192 = 64 \] --- ## Итог: - **Площадь полной поверхности:** \(\boxed{112}\) - **Объем пирамиды:** \(\boxed{64}\) Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!