Примеры логарифмических уравнений для самостоятельного решения: 1. log5(3x-2)=log5 7 2.log2(x+1)+log2(x+3)=3 3.log2(1-x)=3-log2(3-x) 4.log7(3x+4)=log7(5x+8) 5.lg(2x^2-4x+12)=LG x+LG(x+3)

Конечно! Вот подробные решения и объяснения для каждого из логарифмических уравнений, чтобы помочь вам понять процесс решения. --- ### 1. log₅(3x - 2) = log₅ 7 **Что нужно сделать:** Равенство двух логарифмов с одинаковым основанием возможно только при условии, что их аргументы равны: \[ 3x - 2 = 7 \] **Решение:** \[ 3x = 7 + 2 = 9 \] \[ x = \frac{9}{3} = 3 \] **Проверка условий:** Аргументы логарифмов должны быть положительными: \[ 3x - 2 > 0 \implies 3 \cdot 3 - 2 = 9 - 2 = 7 > 0 \quad \text{(подходит)} \] **Ответ:** \[ \boxed{x = 3} \] --- ### 2. log₂(x+1) + log₂(x+3) = 3 **Что нужно сделать:** Используем свойства логарифмов: \[ \log_a m + \log_a n = \log_a (mn) \] Имеем: \[ \log_2 [(x+1)(x+3)] = 3 \] Переведём из логарифма в показатель: \[ (x+1)(x+3) = 2^3 = 8 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 3x + x + 3 = 8 \] \[ x^2 + 4x + 3 = 8 \] Перенесем все в левую часть: \[ x^2 + 4x + 3 - 8 = 0 \] \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Корни: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \] - Первый корень: \[ x = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] - Второй корень: \[ x = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] **Проверка условий:** \[ x+1 > 0 \implies x > -1 \] \[ x+3 > 0 \implies x > -3 \] Из двух корней: - При \( x=1 \), оба выражения положительны, условие выполнено. - При \( x=-5 \), оба выражения отрицательны, не подходит. **Ответ:** \[ \boxed{x=1} \] --- ### 3. log₂(1 - x) = 3 - log₂(3 - x) **Что нужно сделать:** Выразим правую часть через логарифм: \[ 3 - \log_2(3 - x) \] Можно переписать 3 как логарифм: \[ 3 = \log_2 8 \] Значит, уравнение: \[ \log_2(1 - x) = \log_2 8 - \log_2(3 - x) \] Используем свойство логарифмов: \[ \log_a m - \log_a n = \log_a \frac{m}{n} \] Перепишем: \[ \log_2(1 - x) = \log_2 \frac{8}{3 - x} \] Следовательно: \[ 1 - x = \frac{8}{3 - x} \] Решим это уравнение: \[ (1 - x)(3 - x) = 8 \] Раскроем скобки: \[ (1)(3 - x) - x(3 - x) = 8 \] \[ 3 - x - 3x + x^2 = 8 \] Объединим: \[ x^2 - 4x + 3 = 8 \] Перенесем всё в левую сторону: \[ x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \] \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Корни: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] - Первый: \[ x = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] - Второй: \[ x = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] **Проверка условий:** - Для \( x=5 \): \[ 1 - x = 1 - 5 = -4 \quad (\text{не может быть логарифмом}) \] Значит, \( \log_2(1 - x) \) не существует для \( x=5 \). - Для \( x=-1 \): \[ 1 - (-1) = 2 > 0 \] \[ 3 - (-1) = 4 > 0 \] Условие существования логарифмов выполнено только для \( x=-1 \). Также стоит проверить исходное уравнение при \( x=-1 \): \[ \log_2(1 - (-1)) = \log_2 2 = 1 \] \[ 3 - \log_2(3 - (-1)) = 3 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1 \] Совпадение, значит решение подходит. **Ответ:** \[ \boxed{x = -1} \] --- ### 4. log₇(3x + 4) = log₇(5x + 8) **Что нужно делать:** Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, аргументы равны: \[ 3x + 4 = 5x + 8 \] Решим уравнение: \[ 3x + 4 = 5x + 8 \] \[ 4 - 8 = 5x - 3x \] \[ -4 = 2x \] \[ x = -2 \] **Проверка условий:** Аргументы логарифмов должны быть положительными: \[ 3x + 4 > 0 \implies 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2 \quad \text{(не подходит)} \] \[ 5x + 8 > 0 \implies 5(-2) + 8 = -10 + 8 = -2 \quad \text{(не подходит)} \] Обратим внимание — оба аргумента отрицательны, следовательно, логарифмы не существуют при \( x=-2 \). Значит, это не допустимое решение. **Ответ:** Нет подходящего значения, так как условие положительности аргументов не выполняется. --- ### 5. lg(2x² - 4x + 12) = LG x + LG(x + 3) *(Здесь предполагается использование малых и больших букв 'lg' и 'LG' как один и тот же логарифм по основанию 10)* **Что нужно сделать:** Объединяем логарифмы справа: \[ LG x + LG (x+3) = LG [x(x+3)] \] Правая часть: \[ LG [x^2 + 3x] \] Левая часть: \[ LG (2x^2 - 4x + 12) \] Значит, уравнение: \[ LG (2x^2 - 4x + 12) = LG (x^2 + 3x) \] Из равенства логарифмов выводим: \[ 2x^2 - 4x + 12 = x^2 + 3x \] Перенесем все в левую часть: \[ 2x^2 - 4x + 12 - x^2 - 3x = 0 \] \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \] Корни: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} \] - Первый: \[ x = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] - Второй: \[ x = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] **Проверка условий:** Логарифмы определены, если: \[ x > 0 \] \[ x + 3 > 0 \] Об обеих решениях это выполняется: - Для \( x=3 \): \( 3 > 0 \), \( 3 + 3 = 6 > 0 \) — подходит. - Для \( x=4 \): \( 4 > 0 \), \( 4 + 3 = 7 > 0 \) — подходит. **Ответ:** \[ \boxed{x=3 \text{ или } x=4} \] --- Если нужно ещё что-то — спрашивайте!