Примеры логарифмических уравнений для самостоятельного решения: 1. log5(3x-2)=log5 7 2.log2(x+1)+log2(x+3)=3 3.log2(1-x)=3-log2(3-x) 4.log7(3x+4)=log7(5x+8) 5.lg(2x^2-4x+12)=LG…

Конечно! Вот подробные решения и объяснения для каждого из логарифмических уравнений, чтобы помочь вам понять процесс решения.

---

1. log₅(3x - 2) = log₅ 7

Что нужно сделать:
Равенство двух логарифмов с одинаковым основанием возможно только при условии, что их аргументы равны:

\[ 3x - 2 = 7 \]

Решение:
\[ 3x = 7 + 2 = 9 \]
\[ x = \frac{9}{3} = 3 \]

Проверка условий:
Аргументы логарифмов должны быть положительными:
\[ 3x - 2 > 0 \implies 3 \cdot 3 - 2 = 9 - 2 = 7 > 0 \quad \text{(подходит)} \]

Ответ:
\[ \boxed{x = 3} \]

---

2. log₂(x+1) + log₂(x+3) = 3

Что нужно сделать:
Используем свойства логарифмов:
\[ \log_a m + \log_a n = \log_a (mn) \]

Имеем:
\[ \log_2 [(x+1)(x+3)] = 3 \]

Переведём из логарифма в показатель:
\[ (x+1)(x+3) = 2^3 = 8 \]

Раскроем скобки:
\[ x^2 + 3x + x + 3 = 8 \] \[ x^2 + 4x + 3 = 8 \]

Перенесем все в левую часть:
\[ x^2 + 4x + 3 - 8 = 0 \] \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Корни:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]

• Первый корень:
  \[ x = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

• Второй корень:
  \[ x = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Проверка условий:
\[ x+1 > 0 \implies x > -1 \]
\[ x+3 > 0 \implies x > -3 \]

Из двух корней:

• При \( x=1 \), оба выражения положительны, условие выполнено.
• При \( x=-5 \), оба выражения отрицательны, не подходит.

Ответ:
\[ \boxed{x=1} \]

---

3. log₂(1 - x) = 3 - log₂(3 - x)

Что нужно сделать:
Выразим правую часть через логарифм:
\[ 3 - \log_2(3 - x) \]

Можно переписать 3 как логарифм:
\[ 3 = \log_2 8 \]

Значит, уравнение:
\[ \log_2(1 - x) = \log_2 8 - \log_2(3 - x) \]

Используем свойство логарифмов:
\[ \log_a m - \log_a n = \log_a \frac{m}{n} \]

Перепишем:
\[ \log_2(1 - x) = \log_2 \frac{8}{3 - x} \]

Следовательно:
\[ 1 - x = \frac{8}{3 - x} \]

Решим это уравнение:
\[ (1 - x)(3 - x) = 8 \]

Раскроем скобки:
\[ (1)(3 - x) - x(3 - x) = 8 \]
\[ 3 - x - 3x + x^2 = 8 \]

Объединим:
\[ x^2 - 4x + 3 = 8 \]

Перенесем всё в левую сторону:
\[ x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \] \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Дискриминант:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Корни:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \]

• Первый:
  \[ x = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
• Второй:
  \[ x = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверка условий:

• Для \( x=5 \): \[ 1 - x = 1 - 5 = -4 \quad (\text{не может быть логарифмом}) \] Значит, \( \log_2(1 - x) \) не существует для \( x=5 \).
• Для \( x=-1 \): \[ 1 - (-1) = 2 > 0 \] \[ 3 - (-1) = 4 > 0 \]

Условие существования логарифмов выполнено только для \( x=-1 \).
Также стоит проверить исходное уравнение при \( x=-1 \):

\[ \log_2(1 - (-1)) = \log_2 2 = 1 \] \[ 3 - \log_2(3 - (-1)) = 3 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1 \]

Совпадение, значит решение подходит.

Ответ:
\[ \boxed{x = -1} \]

---

4. log₇(3x + 4) = log₇(5x + 8)

Что нужно делать:
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, аргументы равны:
\[ 3x + 4 = 5x + 8 \]

Решим уравнение:
\[ 3x + 4 = 5x + 8 \] \[ 4 - 8 = 5x - 3x \] \[ -4 = 2x \] \[ x = -2 \]

Проверка условий:
Аргументы логарифмов должны быть положительными:
\[ 3x + 4 > 0 \implies 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2 \quad \text{(не подходит)} \]
\[ 5x + 8 > 0 \implies 5(-2) + 8 = -10 + 8 = -2 \quad \text{(не подходит)} \]

Обратим внимание — оба аргумента отрицательны, следовательно, логарифмы не существуют при \( x=-2 \). Значит, это не допустимое решение.

Ответ:
Нет подходящего значения, так как условие положительности аргументов не выполняется.

---

5. lg(2x² - 4x + 12) = LG x + LG(x + 3)

(Здесь предполагается использование малых и больших букв 'lg' и 'LG' как один и тот же логарифм по основанию 10)

Что нужно сделать:
Объединяем логарифмы справа:
\[ LG x + LG (x+3) = LG [x(x+3)] \]

Правая часть:
\[ LG [x^2 + 3x] \]

Левая часть:
\[ LG (2x^2 - 4x + 12) \]

Значит, уравнение:
\[ LG (2x^2 - 4x + 12) = LG (x^2 + 3x) \]

Из равенства логарифмов выводим:
\[ 2x^2 - 4x + 12 = x^2 + 3x \]

Перенесем все в левую часть:
\[ 2x^2 - 4x + 12 - x^2 - 3x = 0 \] \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]

Дискриминант:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]

Корни:
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} \]

• Первый:
  \[ x = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
• Второй:
  \[ x = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Проверка условий:
Логарифмы определены, если:
\[ x > 0 \] \[ x + 3 > 0 \]

Об обеих решениях это выполняется:

• Для \( x=3 \):
  \( 3 > 0 \), \( 3 + 3 = 6 > 0 \) — подходит.
• Для \( x=4 \):
  \( 4 > 0 \), \( 4 + 3 = 7 > 0 \) — подходит.

Ответ:
\[ \boxed{x=3 \text{ или } x=4} \]

---

Если нужно ещё что-то — спрашивайте!