найдите точку максимум функции у=(5х-6)е^-4х-6
Давайте разберемся с задачей: найти точку максимум функции \( y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \).
Шаг 1. Запишем функцию более явно:
\[ y = (5x - 6) \cdot e^{-4x - 6} \]
Обратите внимание, что экспонента \( e^{-4x - 6} = e^{-6} \cdot e^{-4x} \), но для поиска экстремума это несущественно, так как \( e^{-6} \) — постоянный множитель.
Шаг 2. Найдём первую производную \( y' \).
Для этого применим правило произведения: если \( y = u \cdot v \), то
\[ y' = u'v + uv' \]
Где:
- \( u = 5x - 6 \),
- \( v = e^{-4x - 6} \).
Найдем их производные:
\[ u' = \frac{d}{dx}(5x - 6) = 5 \]
\[ v' = \frac{d}{dx} e^{-4x - 6} = e^{-4x - 6} \cdot (-4) = -4 e^{-4x - 6} \]
(используем правило дифференцирования экспоненты).
Теперь получим:
\[ y' = 5 \cdot e^{-4x - 6} + (5x - 6) \cdot (-4 e^{-4x - 6}) \]
Выносим общий множитель \( e^{-4x - 6} \):
\[ y' = e^{-4x - 6} \left[ 5 - 4(5x - 6) \right] \]
Раскроем скобки внутри:
\[ y' = e^{-4x - 6} \left[ 5 - 20x + 24 \right] \]
Объединим подобные:
\[ y' = e^{-4x - 6} (29 - 20x) \]
Шаг 3. Найдём точки экстремума.
Точка максимум или минимум — там, где производная равна нулю или не существует.
Так как \( e^{-4x - 6} \) всегда положительно, то знак производной зависит только от скобки:
\[ 29 - 20x = 0 \]
Решим уравнение:
\[ 20x = 29 \] \[ x = \frac{29}{20} = 1.45 \]
Это потенциалла точка экстремума.
Шаг 4. Проверим, что это максимум.
Чтобы определить, максимум или минимум — рассмотрим знак второй производной или воспользуемся тестом на знак первой производной.
или проще — заметим, что при \( x < 1.45 \):
\[ 29 - 20x > 0 \Rightarrow y' > 0 \]
и при \( x > 1.45 \):
\[ 29 - 20x < 0 \Rightarrow y' < 0 \]
Значит, функция возрастала до \( x = 1.45 \), а после — убывала, следовательно, в точке \( x = 1.45 \) — локальный максимум.
Шаг 5. Найдём значение функции в точке максимум:
\[ y(1.45) = (5 \cdot 1.45 - 6) e^{-4 \cdot 1.45 - 6} \]
Вычислим:
\[ 5 \cdot 1.45 = 7.25 \]
\[ 7.25 - 6 = 1.25 \]
и
\[ -4 \cdot 1.45 - 6 = -5.8 - 6 = -11.8 \]
Тогда:
\[ y(1.45) = 1.25 \cdot e^{-11.8} \]
Это и есть значение функции в точке максимума.
Ответ:
Точка максимум функции — при \( x = 1.45 \), а значение функции в этой точке равно \( y \approx 1.25 \cdot e^{-11.8} \).
Если нужно числовое приближение, то
\[ e^{-11.8} \approx 7.4 \times 10^{-6} \]
Тогда:
\[ y \approx 1.25 \times 7.4 \times 10^{-6} \approx 9.25 \times 10^{-6} \]
Это очень маленькое число, что соответствует тому, что функция достигает своего максимума при данном \( x \).
