Найдите точку максимум функции у=(5х-6)е^-4х-6

Давайте разберемся с задачей: найти точку максимум функции \( y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \). Шаг 1. Запишем функцию более явно: \[ y = (5x - 6) \cdot e^{-4x - 6} \] Обратите внимание, что экспонента \( e^{-4x - 6} = e^{-6} \cdot e^{-4x} \), но для поиска экстремума это несущественно, так как \( e^{-6} \) — постоянный множитель. --- **Шаг 2. Найдём первую производную \( y' \).** Для этого применим правило произведения: если \( y = u \cdot v \), то \[ y' = u'v + uv' \] Где: - \( u = 5x - 6 \), - \( v = e^{-4x - 6} \). Найдем их производные: \[ u' = \frac{d}{dx}(5x - 6) = 5 \] \[ v' = \frac{d}{dx} e^{-4x - 6} = e^{-4x - 6} \cdot (-4) = -4 e^{-4x - 6} \] (используем правило дифференцирования экспоненты). Теперь получим: \[ y' = 5 \cdot e^{-4x - 6} + (5x - 6) \cdot (-4 e^{-4x - 6}) \] Выносим общий множитель \( e^{-4x - 6} \): \[ y' = e^{-4x - 6} \left[ 5 - 4(5x - 6) \right] \] Раскроем скобки внутри: \[ y' = e^{-4x - 6} \left[ 5 - 20x + 24 \right] \] Объединим подобные: \[ y' = e^{-4x - 6} (29 - 20x) \] --- **Шаг 3. Найдём точки экстремума.** Точка максимум или минимум — там, где производная равна нулю или не существует. Так как \( e^{-4x - 6} \) всегда положительно, то знак производной зависит только от скобки: \[ 29 - 20x = 0 \] Решим уравнение: \[ 20x = 29 \] \[ x = \frac{29}{20} = 1.45 \] Это потенциалла точка экстремума. --- **Шаг 4. Проверим, что это максимум.** Чтобы определить, максимум или минимум — рассмотрим знак второй производной или воспользуемся тестом на знак первой производной. или проще — заметим, что при \( x < 1.45 \): \[ 29 - 20x > 0 \Rightarrow y' > 0 \] и при \( x > 1.45 \): \[ 29 - 20x < 0 \Rightarrow y' < 0 \] Значит, функция возрастала до \( x = 1.45 \), а после — убывала, следовательно, в точке \( x = 1.45 \) — локальный максимум. --- **Шаг 5. Найдём значение функции в точке максимум:** \[ y(1.45) = (5 \cdot 1.45 - 6) e^{-4 \cdot 1.45 - 6} \] Вычислим: \[ 5 \cdot 1.45 = 7.25 \] \[ 7.25 - 6 = 1.25 \] и \[ -4 \cdot 1.45 - 6 = -5.8 - 6 = -11.8 \] Тогда: \[ y(1.45) = 1.25 \cdot e^{-11.8} \] Это и есть значение функции в точке максимума. --- **Ответ:** **Точка максимум функции — при \( x = 1.45 \), а значение функции в этой точке равно \( y \approx 1.25 \cdot e^{-11.8} \).** Если нужно числовое приближение, то \[ e^{-11.8} \approx 7.4 \times 10^{-6} \] Тогда: \[ y \approx 1.25 \times 7.4 \times 10^{-6} \approx 9.25 \times 10^{-6} \] Это очень маленькое число, что соответствует тому, что функция достигает своего максимума при данном \( x \).