из свинцового шара радиуса 10мм делают цилиндрический диск толщиной 3мм. каков диаметр диска
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Радиус свинцового шара: \( R_{ш} = 10 \text{ мм} \)
- Толщина диска (его высота): \( h = 3 \text{ мм} \)
Задача: найти диаметр диска.
Анализ задачи:
Представим, что шар — это полное сферическое тело радиуса 10 мм.
Из этого шара вырезают цилиндрический диск, толщина которого 3 мм. То есть диаметр этого диска должен быть таким, чтобы весь диск находился внутри сферы.
В центре диска — его ось, и по очертанию он — круг. Диаметр диска — это диаметр этого круга.
Решение:
Шаг 1: Положение диска внутри сферы
- Предположим, что диск расположен так, что его центр совпадает с центром шара. Тогда диск — это круг, лежащий внутри сферы, с радиусом \( r \), который мы ищем.
Шаг 2: Геометрические соотношения
- Радиус сферы \( R_{ш} = 10 \text{ мм} \)
- Радиус основания диска (неизвестен, возьмём его за \( r \))
- Толщина диска — это его высота \( h = 3 \text{ мм} \).
Шаг 3: Связь радиусов и положения диска внутри сферы
- Если диск расположен так, что его центр совпадает с центром сферы, то радиус, до границы сферы, это гипотенуза, образованная радиусом сферы и половиной толщины диска.
- Но, поскольку диск — цилиндр, толщину при расположении так, чтобы он не выходил за границы сферы, нужно учитывать, что его край находится на расстоянии от центра сферы, не превышающем радиус \( R_{ш} \).
Шаг 4: Расположение диска внутри сферы
Минимальное расстояние от центра сферы до края диска по высоте — это половина толщины, то есть \( \frac{h}{2} = 1.5 \text{ мм} \).
Радиус основания диска (по сути, радиус до его края): \( r \).
Радиус сферы равен \( R_{ш} = 10 \text{ мм} \).
Расстояние от центра сферы до края диска по вертикали: \( d = \) расстояние от центра до края по высоте.
Поскольку диск находится внутри сферы, то радиус сферы равен гипотенузе:
\[ R_{ш}^2 = d^2 + r^2 \]
где \( d \) — вертикальное расстояние от центра сферы до центра диска (точнее, до его поверхности по оси), ну или, если диск лежит так, что его центр на оси одинаковый с центром сферы, то:
Для диска толщиной \( h \), центр диска находится на расстоянии \( d = 0 \) от центра сферы, а края диска — на расстоянии \( r \).
Тогда, чтобы край диска не выходил за границы сферы, радиус основания \( r \) должен удовлетворять:
\[ r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R_{ш}^2 \]
или:
\[ r^2 = R_{ш}^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2 \]
Подставим числовые значения:
\[ r^2 = 10^2 - 1.5^2 = 100 - 2.25 = 97.75 \]
Тогда:
\[ r = \sqrt{97.75} \approx 9.89 \text{ мм} \]
Итог:
Диаметр диска — это дважды радиуса:
\[ \boxed{d = 2r \approx 2 \times 9.89 \text{ мм} \approx 19.78 \text{ мм}} \]
Ответ:
Диаметр диска примерно равен 19.78 мм.
