Вычислите s криволинейной трапеции: y=x²-1, y=2x+2

Давайте решим задачу — найдём площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками двух функций: - \( y = x^2 - 1 \), - \( y = 2x + 2 \). --- ### Шаг 1: Определим точки пересечения графиков Чтобы найти область, ограниченную этими графиками, нужно найти точки пересечения — это будет границей фигуры. Решим уравнение: \[ x^2 - 1 = 2x + 2 \] Перенесём все в левую сторону: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \] Тогда корни: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] - \( x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \), - \( x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \). --- ### Шаг 2: Определим интеграл для нахождения площади Область ограничена по \(x\) от \(-1\) до \(3\). Площадь вычисляется как определённый интеграл разницы функций: \[ S = \int_{x=-1}^{x=3} \left( (2x + 2) - (x^2 - 1) \right) dx \] Пояснение: слева — верхняя кривая \( y = 2x + 2 \), справа — нижняя \( y = x^2 - 1 \). --- ### Шаг 3: Упростим выражение под интегралом \[ (2x + 2) - (x^2 - 1) = 2x + 2 - x^2 + 1 = -x^2 + 2x + 3 \] Итак, \[ S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx \] --- ### Шаг 4: Вычисляем интеграл Разделим интеграл на части: \[ S = \int_{-1}^{3} -x^2 dx + \int_{-1}^{3} 2x dx + \int_{-1}^{3} 3 dx \] Посчитаем отдельно: 1. \(\int -x^2 dx = - \frac{x^3}{3}\), 2. \(\int 2x dx = x^2\), 3. \(\int 3 dx = 3x\). Теперь подставляем пределы: \[ S = \left[ - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{3} + \left[ x^2 \right]_{-1}^{3} + \left[ 3x \right]_{-1}^{3} \] --- ### Шаг 5: Подставляем границы 1. \(\left[ - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{3} = - \frac{3^3}{3} + \frac{(-1)^3}{3} = - \frac{27}{3} + \frac{-1}{3} = -9 - \frac{1}{3} = -\frac{28}{3}\) 2. \(\left[ x^2 \right]_{-1}^{3} = 3^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8\) 3. \(\left[ 3x \right]_{-1}^{3} = 3 \times 3 - 3 \times (-1) = 9 + 3 = 12\) --- ### Шаг 6: Итоговая площадь Складываем все части: \[ S = - \frac{28}{3} + 8 + 12 \] Приведём к общему знаменателю: \[ 8 = \frac{24}{3}, \quad 12 = \frac{36}{3} \] Итак, \[ S = - \frac{28}{3} + \frac{24}{3} + \frac{36}{3} = \frac{-28 + 24 + 36}{3} = \frac{32}{3} \] --- ### **Ответ:** **Площадь криволинейной трапеции равна \(\displaystyle \frac{32}{3}\) квадратных единиц.**