вычислите s криволинейной трапеции: y=x²-1, y=2x+2
Давайте решим задачу — найдём площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками двух функций:
- \( y = x^2 - 1 \),
- \( y = 2x + 2 \).
Шаг 1: Определим точки пересечения графиков
Чтобы найти область, ограниченную этими графиками, нужно найти точки пересечения — это будет границей фигуры.
Решим уравнение:
\[ x^2 - 1 = 2x + 2 \]
Перенесём все в левую сторону:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Находим дискриминант:
\[ D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Тогда корни:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
- \( x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \),
- \( x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \).
Шаг 2: Определим интеграл для нахождения площади
Область ограничена по \(x\) от \(-1\) до \(3\).
Площадь вычисляется как определённый интеграл разницы функций:
\[ S = \int_{x=-1}^{x=3} \left( (2x + 2) - (x^2 - 1) \right) dx \]
Пояснение: слева — верхняя кривая \( y = 2x + 2 \), справа — нижняя \( y = x^2 - 1 \).
Шаг 3: Упростим выражение под интегралом
\[ (2x + 2) - (x^2 - 1) = 2x + 2 - x^2 + 1 = -x^2 + 2x + 3 \]
Итак,
\[ S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx \]
Шаг 4: Вычисляем интеграл
Разделим интеграл на части:
\[ S = \int_{-1}^{3} -x^2 dx + \int_{-1}^{3} 2x dx + \int_{-1}^{3} 3 dx \]
Посчитаем отдельно:
- \(\int -x^2 dx = - \frac{x^3}{3}\),
- \(\int 2x dx = x^2\),
- \(\int 3 dx = 3x\).
Теперь подставляем пределы:
\[ S = \left[ - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{3} + \left[ x^2 \right]_{-1}^{3} + \left[ 3x \right]_{-1}^{3} \]
Шаг 5: Подставляем границы
\(\left[ - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{3} = - \frac{3^3}{3} + \frac{(-1)^3}{3} = - \frac{27}{3} + \frac{-1}{3} = -9 - \frac{1}{3} = -\frac{28}{3}\)
\(\left[ x^2 \right]_{-1}^{3} = 3^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8\)
\(\left[ 3x \right]_{-1}^{3} = 3 \times 3 - 3 \times (-1) = 9 + 3 = 12\)
Шаг 6: Итоговая площадь
Складываем все части:
\[ S = - \frac{28}{3} + 8 + 12 \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ 8 = \frac{24}{3}, \quad 12 = \frac{36}{3} \]
Итак,
\[ S = - \frac{28}{3} + \frac{24}{3} + \frac{36}{3} = \frac{-28 + 24 + 36}{3} = \frac{32}{3} \]
Ответ:
Площадь криволинейной трапеции равна \(\displaystyle \frac{32}{3}\) квадратных единиц.
