High
Конечно! Вот подробное решение всех задач из этого экзаменационного билета:
1. Найдите значение выражений:
- \(\frac{7}{8} + \frac{3}{14} - \frac{21}{4}\)
Шаг 1: Приведем все дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 8, 14 и 4 — это 56.
- \(\frac{7}{8} = \frac{7 \times 7}{8 \times 7} = \frac{49}{56}\)
- \(\frac{3}{14} = \frac{3 \times 4}{14 \times 4} = \frac{12}{56}\)
- \(\frac{21}{4} = \frac{21 \times 14}{4 \times 14} = \frac{294}{56}\)
Шаг 2: Складываем и вычитаем:
\[ \frac{49}{56} + \frac{12}{56} - \frac{294}{56} = \frac{49 + 12 - 294}{56} = \frac{-233}{56} \]
Ответ: \(\boxed{-\frac{233}{56}}\).
- \(\frac{4^{-7} \times 45}{4^{-4}}\)
Шаг 1: Используем свойства степеней:
\[ \frac{4^{-7}}{4^{-4}} = 4^{-7 - (-4)} = 4^{-7 + 4} = 4^{-3} \]
Шаг 2: Остальная часть: \(4^{-3} \times 45\):
\[ 45 \times 4^{-3} = 45 \times \frac{1}{4^3} = 45 \times \frac{1}{64} = \frac{45}{64} \]
Ответ: \(\boxed{\frac{45}{64}}\).
- \((\sqrt{63} - \sqrt{7}) \times \sqrt{7}\)
Шаг 1: Вычислим \(\sqrt{63}\):
\[ \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3 \sqrt{7} \]
Шаг 2: Подставим:
\[ (3 \sqrt{7} - \sqrt{7}) \times \sqrt{7} = (2 \sqrt{7}) \times \sqrt{7} \]
Шаг 3: Перемножим:
\[ 2 \sqrt{7} \times \sqrt{7} = 2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{7} = 2 \times 7 = 14 \]
Ответ: \(\boxed{14}\).
2. Решите уравнения:
- \(x^2 - 13x + 22=0\)
Шаг 1: Найдём дискриминант:
\[ D = (-13)^2 - 4 \times 1 \times 22 = 169 - 88 = 81 \]
Шаг 2: Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{13 \pm 9}{2} \]
- \(x_1 = \frac{13 + 9}{2} = \frac{22}{2} = 11\)
- \(x_2 = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Ответ: \(\boxed{x=2 \text{ или } 11}\).
- \(6^{t-12} = \frac{1}{36}\)
Шаг 1: Перепишем \(1/36\) как степень:
\[ 36 = 6^2 \Rightarrow \frac{1}{36} = 6^{-2} \]
Шаг 2: Сравним степени:
\[ 6^{t-12} = 6^{-2} \Rightarrow t - 12 = -2 \]
Шаг 3: Найдём \(t\):
\[ t = -2 + 12 = 10 \]
Ответ: \(\boxed{t=10}\).
- \(\log_3(2x+4) - \log_3 2 = \log_3 5\)
Шаг 1: Используем свойства логарифмов:
\[ \log_3 \frac{2x+4}{2} = \log_3 5 \]
Шаг 2: Ровно приравниваем аргументы:
\[ \frac{2x+4}{2} = 5 \]
Шаг 3: Решаем уравнение:
\[ 2x + 4 = 10 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x=3 \]
Ответ: \(\boxed{x=3}\).
- Решите неравенство \(2^{-x} < \frac{1}{2}\)
Шаг 1: Перепишем \(\frac{1}{2}\) как степень двойки:
\[ \frac{1}{2} = 2^{-1} \]
Шаг 2: Тогда неравенство:
\[ 2^{-x} < 2^{-1} \]
Так как степени равны и базис одинаковый, неравенство при таком виде инвертируется при минусе степени:
\[ - x > -1 \Rightarrow x < 1 \]
Ответ: \(\boxed{x<1}\).
- Школьники собираются учиться в ВУЗ. Из 27 выпускников — 30%. Сколько всего выпускников?
Шаг 1: Обозначим число выпускников как \(N\).
Шаг 2: 30% от \(N\) — это 27 человек:
\[ 0.3N = 27 \]
Шаг 3: Находим \(N\):
\[ N = \frac{27}{0.3} = 90 \]
Ответ: \(\boxed{90}\) выпускников.
3. Записать разложение бинома \((4 + x)^4\).
Используя формулу бинома Ньютона:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
Для \((4+x)^4\):
\[ \begin{aligned} (4 + x)^4 &= \binom{4}{0} 4^4 x^0 + \binom{4}{1} 4^3 x^1 + \binom{4}{2} 4^2 x^2 + \binom{4}{3} 4^1 x^3 + \binom{4}{4} 4^0 x^4 \\ &= 1 \times 256 + 4 \times 64 x + 6 \times 16 x^2 + 4 \times 4 x^3 + 1 \times x^4 \\ &= 256 + 256 x + 96 x^2 + 16 x^3 + x^4 \end{aligned} \]
Ответ: \(\boxed{256 + 256 x + 96 x^2 + 16 x^3 + x^4}\).
4. Найти производную функции:
\(f(x) = \sqrt{x^2 - x + 10}\)
Шаг 1: Запишем в виде степени:
\[ f(x) = (x^2 - x + 10)^{1/2} \]
Шаг 2: Используем цепное правило:
\[ f'(x) = \frac{1}{2} (x^2 - x + 10)^{-1/2} \times (2x - 1) \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x + 10}}} \]
5. Координаты векторов:
\(\vec{a} = (-2, 4), \quad \vec{b} = (5, 4), \quad \vec{c} = (-7, -8, 1)\)
Дано:
\[ \vec{p} = -2(\vec{a} + \vec{b}) - 4 \vec{c} \]
Шаг 1: Сложим \(\vec{a} + \vec{b}\):
\[ \vec{a} + \vec{b} = (-2 + 5, 4 + 4) = (3, 8) \]
Шаг 2: Умножим на -2:
\[ -2 \times (3, 8) = (-6, -16) \]
Шаг 3: Умножим \(\vec{c}\) на -4:
[ -4 \
