High

Конечно! Вот подробное решение всех задач из этого экзаменационного билета: --- ### 1. Найдите значение выражений: 1) \(\frac{7}{8} + \frac{3}{14} - \frac{21}{4}\) **Шаг 1:** Приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8, 14 и 4 — это 56. - \(\frac{7}{8} = \frac{7 \times 7}{8 \times 7} = \frac{49}{56}\) - \(\frac{3}{14} = \frac{3 \times 4}{14 \times 4} = \frac{12}{56}\) - \(\frac{21}{4} = \frac{21 \times 14}{4 \times 14} = \frac{294}{56}\) **Шаг 2:** Складываем и вычитаем: \[ \frac{49}{56} + \frac{12}{56} - \frac{294}{56} = \frac{49 + 12 - 294}{56} = \frac{-233}{56} \] Ответ: \(\boxed{-\frac{233}{56}}\). --- 2) \(\frac{4^{-7} \times 45}{4^{-4}}\) **Шаг 1:** Используем свойства степеней: \[ \frac{4^{-7}}{4^{-4}} = 4^{-7 - (-4)} = 4^{-7 + 4} = 4^{-3} \] **Шаг 2:** Остальная часть: \(4^{-3} \times 45\): \[ 45 \times 4^{-3} = 45 \times \frac{1}{4^3} = 45 \times \frac{1}{64} = \frac{45}{64} \] Ответ: \(\boxed{\frac{45}{64}}\). --- 3) \((\sqrt{63} - \sqrt{7}) \times \sqrt{7}\) **Шаг 1:** Вычислим \(\sqrt{63}\): \[ \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3 \sqrt{7} \] **Шаг 2:** Подставим: \[ (3 \sqrt{7} - \sqrt{7}) \times \sqrt{7} = (2 \sqrt{7}) \times \sqrt{7} \] **Шаг 3:** Перемножим: \[ 2 \sqrt{7} \times \sqrt{7} = 2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{7} = 2 \times 7 = 14 \] Ответ: \(\boxed{14}\). --- ### 2. Решите уравнения: 4) \(x^2 - 13x + 22=0\) **Шаг 1:** Найдём дискриминант: \[ D = (-13)^2 - 4 \times 1 \times 22 = 169 - 88 = 81 \] **Шаг 2:** Корни: \[ x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{13 \pm 9}{2} \] - \(x_1 = \frac{13 + 9}{2} = \frac{22}{2} = 11\) - \(x_2 = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\) Ответ: \(\boxed{x=2 \text{ или } 11}\). --- 5) \(6^{t-12} = \frac{1}{36}\) **Шаг 1:** Перепишем \(1/36\) как степень: \[ 36 = 6^2 \Rightarrow \frac{1}{36} = 6^{-2} \] **Шаг 2:** Сравним степени: \[ 6^{t-12} = 6^{-2} \Rightarrow t - 12 = -2 \] **Шаг 3:** Найдём \(t\): \[ t = -2 + 12 = 10 \] Ответ: \(\boxed{t=10}\). --- 6) \(\log_3(2x+4) - \log_3 2 = \log_3 5\) **Шаг 1:** Используем свойства логарифмов: \[ \log_3 \frac{2x+4}{2} = \log_3 5 \] **Шаг 2:** Ровно приравниваем аргументы: \[ \frac{2x+4}{2} = 5 \] **Шаг 3:** Решаем уравнение: \[ 2x + 4 = 10 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x=3 \] Ответ: \(\boxed{x=3}\). --- 7) Решите неравенство \(2^{-x} < \frac{1}{2}\) **Шаг 1:** Перепишем \(\frac{1}{2}\) как степень двойки: \[ \frac{1}{2} = 2^{-1} \] **Шаг 2:** Тогда неравенство: \[ 2^{-x} < 2^{-1} \] Так как степени равны и базис одинаковый, неравенство при таком виде инвертируется при минусе степени: \[ - x > -1 \Rightarrow x < 1 \] Ответ: \(\boxed{x<1}\). --- 8) Школьники собираются учиться в ВУЗ. Из 27 выпускников — 30%. Сколько всего выпускников? **Шаг 1:** Обозначим число выпускников как \(N\). **Шаг 2:** 30% от \(N\) — это 27 человек: \[ 0.3N = 27 \] **Шаг 3:** Находим \(N\): \[ N = \frac{27}{0.3} = 90 \] Ответ: \(\boxed{90}\) выпускников. --- ### 3. Записать разложение бинома \((4 + x)^4\). Используя формулу бинома Ньютона: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Для \((4+x)^4\): \[ \begin{aligned} (4 + x)^4 &= \binom{4}{0} 4^4 x^0 + \binom{4}{1} 4^3 x^1 + \binom{4}{2} 4^2 x^2 + \binom{4}{3} 4^1 x^3 + \binom{4}{4} 4^0 x^4 \\ &= 1 \times 256 + 4 \times 64 x + 6 \times 16 x^2 + 4 \times 4 x^3 + 1 \times x^4 \\ &= 256 + 256 x + 96 x^2 + 16 x^3 + x^4 \end{aligned} \] Ответ: \(\boxed{256 + 256 x + 96 x^2 + 16 x^3 + x^4}\). --- ### 4. Найти производную функции: \(f(x) = \sqrt{x^2 - x + 10}\) **Шаг 1:** Запишем в виде степени: \[ f(x) = (x^2 - x + 10)^{1/2} \] **Шаг 2:** Используем цепное правило: \[ f'(x) = \frac{1}{2} (x^2 - x + 10)^{-1/2} \times (2x - 1) \] **Ответ:** \[ \boxed{\frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x + 10}}} \] --- ### 5. Координаты векторов: \(\vec{a} = (-2, 4), \quad \vec{b} = (5, 4), \quad \vec{c} = (-7, -8, 1)\) Дано: \[ \vec{p} = -2(\vec{a} + \vec{b}) - 4 \vec{c} \] **Шаг 1:** Сложим \(\vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{a} + \vec{b} = (-2 + 5, 4 + 4) = (3, 8) \] **Шаг 2:** Умножим на -2: \[ -2 \times (3, 8) = (-6, -16) \] **Шаг 3:** Умножим \(\vec{c}\) на -4: \[ -4 \