корень квадратный из выражения 4+2x-x в квадрате=x-2

Давайте подробно разберём задачу:

Условие:
\(\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2\)

Шаг 1. Анализ условия

Чтобы решить это уравнение, заметим, что:

• Левое выражение — это квадратный корень, он неотрицателен:
  \(\sqrt{4 + 2x - x^2} \geq 0\)

• Правое выражение — это линейная функция \(x - 2\).
  Важно учитывать, что для равенства:
  \(\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2\)

  — правое выражение должно быть неотрицательным:
  \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)

Шаг 2. Возводим обе части в квадрат

Чтобы избавиться от квадратного корня, возьмём в квадрат обе части уравнения: \[ \left(\sqrt{4 + 2x - x^2}\right)^2 = (x - 2)^2 \]

Это даёт: \[ 4 + 2x - x^2 = (x - 2)^2 \]

Раскроем правую часть: \[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]

Теперь уравнение: \[ 4 + 2x - x^2 = x^2 - 4x + 4 \]

Шаг 3. Решение уравнения

Перенесём все в одну сторону: \[ 4 + 2x - x^2 - x^2 + 4x - 4 = 0 \]

Объединим подобные члены: \[ (4 - 4) + 2x + 4x - x^2 - x^2 = 0 \] \[ 0 + 6x - 2x^2 = 0 \]

Или: \[ -2x^2 + 6x = 0 \]

Если сократить на -2: \[ x^2 - 3x = 0 \]

Вынесем за скобки \(x\): \[ x(x - 3) = 0 \]

Решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 \]

Шаг 4. Проверка решений на исходное условие

Помним, что при возведении в квадрат потеряна информация о знаке, потому необходимо проверить каждое решение в исходном уравнении.

Проверка \(x = 0\):

Подставим в исходное: \[ \sqrt{4 + 2 \cdot 0 - 0^2} = 0 - 2 \] \[ \sqrt{4 + 0 - 0} = -2 \] \[ \sqrt{4} = -2 \] \[ 2 = -2 \quad \text{— невозможно} \]

Значит, ** \(x=0\) не подходит**.

Проверка \(x=3\):

Подставим: \[ \sqrt{4 + 2 \cdot 3 - 3^2} = 3 - 2 \] \[ \sqrt{4 + 6 - 9} = 1 \] \[ \sqrt{1} = 1 \]

Верно, так как \(\sqrt{1} = 1\), и правая сторона равна 1.

Также учетливаем условие \(x \geq 2\) — выполнено, так что \(x=3\)— решение задачи.

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Единственное решение} \quad x = 3 } \]

Если хотите, я могу объяснить шаги ещё раз или помочь с похожими задачами!