Корень квадратный из выражения 4+2x-x в квадрате=x-2

Давайте подробно разберём задачу: **Условие:** \(\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2\) --- ### Шаг 1. Анализ условия Чтобы решить это уравнение, заметим, что: - Левое выражение — это квадратный корень, он неотрицателен: \(\sqrt{4 + 2x - x^2} \geq 0\) - Правое выражение — это линейная функция \(x - 2\). Важно учитывать, что для равенства: \(\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2\) — правое выражение должно быть неотрицательным: \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\) --- ### Шаг 2. Возводим обе части в квадрат Чтобы избавиться от квадратного корня, возьмём в квадрат обе части уравнения: \[ \left(\sqrt{4 + 2x - x^2}\right)^2 = (x - 2)^2 \] Это даёт: \[ 4 + 2x - x^2 = (x - 2)^2 \] Раскроем правую часть: \[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \] Теперь уравнение: \[ 4 + 2x - x^2 = x^2 - 4x + 4 \] ### Шаг 3. Решение уравнения Перенесём все в одну сторону: \[ 4 + 2x - x^2 - x^2 + 4x - 4 = 0 \] Объединим подобные члены: \[ (4 - 4) + 2x + 4x - x^2 - x^2 = 0 \] \[ 0 + 6x - 2x^2 = 0 \] Или: \[ -2x^2 + 6x = 0 \] Если сократить на -2: \[ x^2 - 3x = 0 \] Вынесем за скобки \(x\): \[ x(x - 3) = 0 \] Решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 \] --- ### Шаг 4. Проверка решений на исходное условие Помним, что при возведении в квадрат потеряна информация о знаке, потому необходимо проверить каждое решение в исходном уравнении. **Проверка \(x = 0\):** Подставим в исходное: \[ \sqrt{4 + 2 \cdot 0 - 0^2} = 0 - 2 \] \[ \sqrt{4 + 0 - 0} = -2 \] \[ \sqrt{4} = -2 \] \[ 2 = -2 \quad \text{— невозможно} \] Значит, ** \(x=0\) не подходит**. --- **Проверка \(x=3\):** Подставим: \[ \sqrt{4 + 2 \cdot 3 - 3^2} = 3 - 2 \] \[ \sqrt{4 + 6 - 9} = 1 \] \[ \sqrt{1} = 1 \] Верно, так как \(\sqrt{1} = 1\), и правая сторона равна 1. Также учетливаем условие \(x \geq 2\) — выполнено, так что \(x=3\)— решение задачи. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Единственное решение} \quad x = 3 } \] Если хотите, я могу объяснить шаги ещё раз или помочь с похожими задачами!