Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) АВ и DC; 6) BC и DA; в) АО И ОС; г) АС и ВД? Ответ обоснуйте

Задача: параллелограмм ABCD, диагонали пересекаются в точке O. Определить, равны ли векторы: а) AB и DC; б) BC и DA; в) AO и OC; г) AC и BD? Обосновать.

Пояснение: пусть вектор AB = b, вектор AD = d. Тогда можно выбрать систему: A = 0, B = b, D = d, а C = B + D = b + d.

1. AB и DC

• AB = B − A = b.
• DC = C − D = (b + d) − d = b. Имеем AB = DC. Значит, векторы AB и DC равны.

2. BC и DA

• BC = C − B = (b + d) − b = d.
• DA = A − D = 0 − d = −d. BC = −DA, то есть BC и DA направлены противоположно и имеют одинаковую длину, но не равны как векторы. Следовательно, BC и DA не равны.

3. AO и OC

• В параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах, поэтому O является серединой как AC, так и BD.
• AO и OC лежат на одной диагонали AC и AO = OC по длине и направлению (O — середина AC). Итак, AO = OC.

4. AC и BD

• AC = C − A = b + d.
• BD = D − B = d − b. Эти два вектора равны не в общем случае (они совпадают лишь в крайне частном случае degenerate, например при b = −d, что исключается для реального параллелограмма). Значит, AC и BD не равны.

Итог:

• а) AB равен DC — да.
• б) BC равен DA — нет (они противоположны: BC = −DA).
• в) AO равен OC — да.
• г) AC равен BD — нет (за исключением редких особых случаев).