Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) АВ и DC; 6) BC и DA; в) АО И ОС; г) АС и ВД? Ответ обоснуйте

Задача: параллелограмм ABCD, диагонали пересекаются в точке O. Определить, равны ли векторы: а) AB и DC; б) BC и DA; в) AO и OC; г) AC и BD? Обосновать. Пояснение: пусть вектор AB = b, вектор AD = d. Тогда можно выбрать систему: A = 0, B = b, D = d, а C = B + D = b + d. 1) AB и DC - AB = B − A = b. - DC = C − D = (b + d) − d = b. Имеем AB = DC. Значит, векторы AB и DC равны. 2) BC и DA - BC = C − B = (b + d) − b = d. - DA = A − D = 0 − d = −d. BC = −DA, то есть BC и DA направлены противоположно и имеют одинаковую длину, но не равны как векторы. Следовательно, BC и DA не равны. 3) AO и OC - В параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах, поэтому O является серединой как AC, так и BD. - AO и OC лежат на одной диагонали AC и AO = OC по длине и направлению (O — середина AC). Итак, AO = OC. 4) AC и BD - AC = C − A = b + d. - BD = D − B = d − b. Эти два вектора равны не в общем случае (они совпадают лишь в крайне частном случае degenerate, например при b = −d, что исключается для реального параллелограмма). Значит, AC и BD не равны. Итог: - а) AB равен DC — да. - б) BC равен DA — нет (они противоположны: BC = −DA). - в) AO равен OC — да. - г) AC равен BD — нет (за исключением редких особых случаев).