Сумма катета и гипотенузы равна 36 см. Отношение этого катета к гипотенузе 1: 2. Найдите меньший из отрезков, на которые высота треугольника делит ги-потенузу.

Решение по шагам.

1. Обозначим:

• a — указанный в условии катет, c — гипотенуза.
• дано: a + c = 36 и отношение a : c = 1 : 2, поэтому a = c/2.

2. Найдём c и a:

• c/2 + c = 36 ⇒ (3/2)c = 36 ⇒ c = 24 см.
• тогда a = c/2 = 12 см.

3. Найдём второй катет b (для полноты картины):

• По теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.
• 12^2 + b^2 = 24^2 ⇒ 144 + b^2 = 576 ⇒ b^2 = 432 ⇒ b = 12√3 см.

4. Отрезки, на которые высота опускается на гипотенузу:

• Пусть hypotenuse c делится на отрезки p и q так, что p + q = c и p = a^2 / c, q = b^2 / c.
• Вычислим: p = a^2 / c = 12^2 / 24 = 144 / 24 = 6 см.
• Тогда q = c − p = 24 − 6 = 18 см (или можно проверить через q = b^2 / c = 432 / 24 = 18).

5. Меньший из отрезков: min(p, q) = min(6 см, 18 см) = 6 см.

Ответ: меньший из отрезков, на которые высота треугольника делит гипотенузу, равен 6 см. Если интересно, высота h = √(pq) = √(6·18) = √108 = 6√3 см.