Найди точки экстремума функции y=x/5+5/x

Задача: найти точки экстремума функции y = x/5 + 5/x. Пошаговое решение 1) Границы области - Функция определена при x ≠ 0 ( из-за 5/x ). 2) Производная и критические точки - y'(x) = d/dx (x/5) + d/dx (5/x) = 1/5 - 5/x^2. - Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: 1/5 - 5/x^2 = 0 => 5/x^2 = 1/5 => x^2 = 25 => x = ±5. 3) Ветвление по второму производному (или анализ знаков производной) - Вторая производная: y''(x) = d/dx (1/5 - 5/x^2) = 10/x^3. - Точка x = 5: y''(5) = 10/125 > 0 → локальный минимум. - Точка x = -5: y''(-5) = 10/(-125) < 0 → локальный максимум. 4) Значения функции в критических точках - y(5) = 5/5 + 5/5 = 1 + 1 = 2. - y(-5) = (-5)/5 + 5/(-5) = -1 - 1 = -2. Вывод - Локальный максимум: при x = -5, y = -2 → точка (-5, -2). - Локальный минимум: при x = 5, y = 2 → точка (5, 2). Дополнение (для полноты картины): - Глобальных экстремумов нет, потому что функция не ограничена сверху и снизу: при близких к нулю x значения стремятся к ±∞, а при x → ±∞ y ~ x/5 → ±∞.