Задача Задача №3364430
А
А
найди точки экстремума функции y=x/5+5/x
Задача: найти точки экстремума функции y = x/5 + 5/x.
Пошаговое решение
- Границы области
- Функция определена при x ≠ 0 ( из-за 5/x ).
- Производная и критические точки
- y'(x) = d/dx (x/5) + d/dx (5/x) = 1/5 - 5/x^2.
- Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: 1/5 - 5/x^2 = 0 => 5/x^2 = 1/5 => x^2 = 25 => x = ±5.
- Ветвление по второму производному (или анализ знаков производной)
Вторая производная: y''(x) = d/dx (1/5 - 5/x^2) = 10/x^3.
Точка x = 5: y''(5) = 10/125 > 0 → локальный минимум.
Точка x = -5: y''(-5) = 10/(-125) < 0 → локальный максимум.
- Значения функции в критических точках
- y(5) = 5/5 + 5/5 = 1 + 1 = 2.
- y(-5) = (-5)/5 + 5/(-5) = -1 - 1 = -2.
Вывод
- Локальный максимум: при x = -5, y = -2 → точка (-5, -2).
- Локальный минимум: при x = 5, y = 2 → точка (5, 2).
Дополнение (для полноты картины):
- Глобальных экстремумов нет, потому что функция не ограничена сверху и снизу: при близких к нулю x значения стремятся к ±∞, а при x → ±∞ y ~ x/5 → ±∞.
