y=4/(x-3)

Задача: y = 4/(x − 3)

Цель: Понять график и основные свойства функции. Объяснение пошагово.

1. Признание преобразований

• Начинаем с базового графика y = 1/x.
• Умножаем на 4: ослабляем/усиливаем вертикальное растяжение, получаем y = 4/x.
• Смещаем график вправо на 3: заменяем x на (x − 3), получаем y = 4/(x − 3).

Итак, это гипербола, полученная из y = 1/x при вертикальном растяжении в 4 и горизонтальном сдвиге вправо на 3.

2. Определение области определения и ряда значений

• Область определения (домен): все x, кроме x = 3, то есть (-∞, 3) ∪ (3, ∞).
• Область значений (график): y не может равняться 0, поэтому диапазон: (-∞, 0) ∪ (0, ∞).

3. Асимптоты и центр гиперболы

• Вертикальная асимптота: x = 3 (делит график на две ветви).
• Горизонтальная асимптота: y = 0 (график приближается к оси x на бесконечности).
• Центр гиперболы — точка пересечения двух асимптот: (3, 0). График симметричен вращению на 180 градусов вокруг этой точки.

4. Пересечения с осями

• Пересечение с осью y (x = 0): y = 4/(0 − 3) = −4/3. То есть точка (0, −4/3).
• Пересечения с осью x (y = 0): решения нет, поэтому пересечения нет (ветви не касаются оси x).

5. Примеры значений и примерные точки на графике

• x = 2 → y = 4/(2 − 3) = −4 → точка (2, −4).
• x = 0 → y = −4/3 → точка (0, −4/3).
• x = 4 → y = 4/(4 − 3) = 4 → точка (4, 4).
• x = 5 → y = 4/2 = 2 → точка (5, 2).

6. Общий вид графика (интуитивное описание ветвей)

• Правая ветвь (х > 3): y > 0. При x → 3+ y → +∞; при x → +∞ y → 0+.
• Левая ветвь (х < 3): y < 0. При x → 3− y → −∞; при x → −∞ y → 0−.
• График состоит из двух ветвей, лежащих в I и III квадрантах относительно центра (3,0).

7. Свойства монотонности (помощь для понимания)

• Производная: f′(x) = −4/(x − 3)², которая всегда меньше 0 для всех x ≠ 3. Значит каждая ветвь графика строго убывает на своем промежутке: (−∞, 3) и (3, ∞).

8. Что можно запомнить как «правило трансформаций»

• y = 4/(x − 3) можно считать как «гиперболу y = 1/x» сдвинутой вправо на 3 и растянутой в 4 раза по вертикали.
• Центр гиперболы — (3, 0); асимппоты — x = 3 и y = 0.

Если хочешь, могу помочь построить график вручную или подобрать ещё несколько точек для более точного изображения.