Y=4/(x-3)

Задача: y = 4/(x − 3) Цель: Понять график и основные свойства функции. Объяснение пошагово. 1) Признание преобразований - Начинаем с базового графика y = 1/x. - Умножаем на 4: ослабляем/усиливаем вертикальное растяжение, получаем y = 4/x. - Смещаем график вправо на 3: заменяем x на (x − 3), получаем y = 4/(x − 3). Итак, это гипербола, полученная из y = 1/x при вертикальном растяжении в 4 и горизонтальном сдвиге вправо на 3. 2) Определение области определения и ряда значений - Область определения (домен): все x, кроме x = 3, то есть (-∞, 3) ∪ (3, ∞). - Область значений (график): y не может равняться 0, поэтому диапазон: (-∞, 0) ∪ (0, ∞). 3) Асимптоты и центр гиперболы - Вертикальная асимптота: x = 3 (делит график на две ветви). - Горизонтальная асимптота: y = 0 (график приближается к оси x на бесконечности). - Центр гиперболы — точка пересечения двух асимптот: (3, 0). График симметричен вращению на 180 градусов вокруг этой точки. 4) Пересечения с осями - Пересечение с осью y (x = 0): y = 4/(0 − 3) = −4/3. То есть точка (0, −4/3). - Пересечения с осью x (y = 0): решения нет, поэтому пересечения нет (ветви не касаются оси x). 5) Примеры значений и примерные точки на графике - x = 2 → y = 4/(2 − 3) = −4 → точка (2, −4). - x = 0 → y = −4/3 → точка (0, −4/3). - x = 4 → y = 4/(4 − 3) = 4 → точка (4, 4). - x = 5 → y = 4/2 = 2 → точка (5, 2). 6) Общий вид графика (интуитивное описание ветвей) - Правая ветвь (х > 3): y > 0. При x → 3+ y → +∞; при x → +∞ y → 0+. - Левая ветвь (х < 3): y < 0. При x → 3− y → −∞; при x → −∞ y → 0−. - График состоит из двух ветвей, лежащих в I и III квадрантах относительно центра (3,0). 7) Свойства монотонности (помощь для понимания) - Производная: f′(x) = −4/(x − 3)², которая всегда меньше 0 для всех x ≠ 3. Значит каждая ветвь графика строго убывает на своем промежутке: (−∞, 3) и (3, ∞). 8) Что можно запомнить как «правило трансформаций» - y = 4/(x − 3) можно считать как «гиперболу y = 1/x» сдвинутой вправо на 3 и растянутой в 4 раза по вертикали. - Центр гиперболы — (3, 0); асимппоты — x = 3 и y = 0. Если хочешь, могу помочь построить график вручную или подобрать ещё несколько точек для более точного изображения.