В треугольнике АВС стороны АВ , ВС и АС равны 4 см, 7 см, и 10 см. Точка К, М и L - средины стороны АВ, ВС и АС треугольника.

Задача даёт треугольник ABC с сторонами AB = 4 см, BC = 7 см, AC = 10 см и точки K, M, L — середины сторон AB, BC и AC соответственно. Это образует медианный треугольник KLM.

1. Силуэт решения по теореме о средних отрезках

• KL — середина AB и середина AC, поэтому KL ∥ BC и KL = BC/2.
• KM — середина AB и середина BC, поэтому KM ∥ AC и KM = AC/2.
• LM — середина BC и середина AC, поэтому LM ∥ AB и LM = AB/2.

2. Находим длины KL, KM, LM

• KL = BC/2 = 7 / 2 = 3,5 см
• KM = AC/2 = 10 / 2 = 5 см
• LM = AB/2 = 4 / 2 = 2 см

3. Примечание: треугольник KLM подобен ABC

• Поскольку стороны середины соединяют середины сторон, треугольник KLM подобен ABC с коэффициентом масштаба 1/2.
• Следовательно, площади соотношение 1/4: площадь KLM = (1/4) площади ABC.

4. Площадь треугольника ABC (для полноты)

• Полупериметр s = (AB + BC + AC) / 2 = (4 + 7 + 10) / 2 = 10,5 см
• По формуле Герона: площадь ABC = sqrt[s(s−AB)(s−BC)(s−AC)] = sqrt[10,5 · 6,5 · 3,5 · 0,5] = sqrt[1911/16] = sqrt(1911) / 4 = (7·√39) / 4 см²
• Therefore площадь KLM = площадь ABC / 4 = (7·√39) / 16 см² ≈ 2,73 см².

Итого

• KL = 3,5 см
• KM = 5 см
• LM = 2 см
• Площадь треугольника KLM ≈ 2,73 см² (или точно (7·√39)/16 см²)
• Треугольник KLM подобен ABC с коэффициентом 1/2 и площадью 1/4 от площади ABC.