Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60 deg. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь…

Ниже подробное решение с объяснениями.

Исходные обозначения:

• Радиус основания цилиндра: r
• Высота цилиндра: h
• Диагональ осевого сечения: d = 48 см
• Осевое сечение — прямоугольник со сторонами высоты h и основания 2r (потому что осевое сечение плоскостью, содержащей ось цилиндра, пересекает цилиндр по прямоугольнику высотой h и шириной 2r)

1. Связь между величинами по углу

• Угол между диагональю осевого сечения и образующей цилиндра (генератором) совпадает с углом между диагональю прямоугольника и его вертикальной стороной (образующая — вертикальная сторона длиной h).
• В прямоугольнике размер стороны горизонтальной (ширина) равен 2r, вертикальная сторона — h.
• Тангенс угла φ между диагональю и вертикалью равен отношению горизонтальной части к вертикальной: tan φ = (2r) / h.
• По условию φ = 60°, поэтому tan 60° = √3: √3 = (2r) / h ⇒ h = (2r) / √3.

2. Длина диагонали осевого сечения

• Диагональ прямоугольника равна: d^2 = h^2 + (2r)^2.
• По условию d = 48 см, значит: h^2 + (2r)^2 = 48^2 = 2304.

3. Подстановка и решение

• Подставим h = (2r)/√3 в выражение для d^2: h^2 = (4r^2)/3, и (2r)^2 = 4r^2. Сумма: (4r^2)/3 + 4r^2 = (4r^2)(1/3 + 1) = (4r^2)(4/3) = 16r^2/3.
• Значение: 16r^2/3 = 2304 ⇒ r^2 = (2304 · 3) / 16 = 432. Следовательно: r = √432 = 12√3 см.

4. Найдем высоту цилиндра

• Используем h = (2r)/√3: h = (2 · 12√3) / √3 = 24 см.

5. Ответы

• а) высота цилиндра: h = 24 см
• б) радиус цилиндра: r = 12√3 см ≈ 20.78 см
• в) площадь основания (круглого основания): S_base = πr^2 = π · 432 = 432π см² ≈ 1357.17 см²

Проверка (быстрая):

• Диагональ: d = √(h^2 + (2r)^2) = √(24^2 + (24√3)^2) = √(576 + 1728) = √2304 = 48 см. Условие выполняется.