Одна из сторон треугольника равна 13 см, а угол, лежащий против этой стороны, равен 120°, сумма двух других сторон треугольника равна 15 см. Определить стороны треугольника.

Нужно найти остальные две стороны b и c, зная:

• a = 13, A = 120°, b + c = 15.

По закону cosines: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A = b^2 + c^2 - 2bc cos 120° = b^2 + c^2 + bc.

Обозначим S = b + c = 15 и P = bc. Тогда b^2 + c^2 = S^2 - 2P = 225 - 2P, и 169 = (225 - 2P) + P = 225 - P ⇒ P = 56.

Составляем квадратное уравнение для b и c: t^2 - S t + P = 0 ⇒ t^2 - 15t + 56 = 0. Дискриминант D = 225 - 224 = 1, корни t = (15 ± 1)/2 = 7 и 8.

Итак, стороны треугольника: 7 см и 8 см (против оставшихся углов). Проверка: 7 + 8 > 13 и 7^2 + 8^2 + 7·8 = 169.