Можно ли найти четыре различных простых числа,чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других?

Короткий ответ: нет. Невозможно подобрать четыре различных простых числа p, q, r, s такие, чтобы произведение двух из них было равно произведению остальных двух (p·q = r·s). Пояснение по шагам (пояснение для понятия на базе теоремы об уникальном разложении на простые): 1) Предположим, что такие четыре различные простых числа существуют: p, q, r, s, все различны, и выполняется p·q = r·s. 2) ПоFundamental Theorem of Arithmetic (уникальность разложения на простые) правая и левая стороны имеют две простые фактора: левая сторона — факторы p и q, правая — r и s. Если два произведения равны, то их многочлены простых факторизаций должны совпадать как множества: {p, q} = {r, s}. 3) Из этого следует, что либо p = r и q = s, либо p = s и q = r. В любом случае пары совпадают, и среди четырех чисел по меньшей мере две совпадают. Значит, не могут существовать четыре различных простых числа. 4) Противоположный аргумент: если p·q = r·s и p не равно ни r, ни s, то p делится на r или на s (так как p — простое), но r и s — также простые и отличаются от p, что невозможно. Значит, снова приходит к противоречию. Заключение: чтобы равнялись произведения двух простых на двух других простых, пары должны совпадать как множества; следовательно, нельзя иметь четыре взаимно различных простых. Дополнительная заметка: - Если позволить повторения (не все четыре числа различны), то можно иметь равные произведения, например p·q = q·p (пары одинаковы, просто поменяли местами), или p·p = p·p. Но для четырех разных простых такой конфигурации не существует.