реши уравнение

Задача: (4x+3)/(x^2 - 2x) + (x - 3)/(x^2 + 2x) = 0

1. Область определения

• x^2 - 2x = x(x-2) = 0 при x = 0 или x = 2
• x^2 + 2x = x(x+2) = 0 при x = 0 или x = -2 Следовательно, x ≠ 0, x ≠ 2, x ≠ -2.

2. Сведение к общему знаменателю Запишем знаменатели в виде x(x-2) и x(x+2): (4x+3)/(x(x-2)) + (x-3)/(x(x+2)) = 0

Чтобы очистить дроби, умножим обе стороны на x^2 (x-2)(x+2):

• Первая дробь: (4x+3)/(x(x-2)) умножается на x^2 (x-2)(x+2) → (4x+3) · x · (x+2)
• Вторая дробь: (x-3)/(x(x+2)) умножается на x^2 (x-2)(x+2) → (x-3) · x · (x-2)

Получаем уравнение: x(4x+3)(x+2) + x(x-3)(x-2) = 0

Можно вынести x за скобку: x[ (4x+3)(x+2) + (x-3)(x-2) ] = 0

3. Разбор скобки Выпишем скобку: (4x+3)(x+2) = 4x^2 + 11x + 6 (x-3)(x-2) = x^2 - 5x + 6

Сумма: (4x^2 + 11x + 6) + (x^2 - 5x + 6) = 5x^2 + 6x + 12

Итак, уравнение переписывается как: x(5x^2 + 6x + 12) = 0

4. Решение

• x = 0 — не подходит, так как не входит в область определения.
• 5x^2 + 6x + 12 = 0 имеет дискриминант D = 6^2 - 4·5·12 = 36 - 240 = -204 < 0. Значит действительных решений нет; есть комплексные корни: x = (-6 ± i√204) / 10 = (-3 ± i√51) / 5.

Ответ:

• В множестве действительных чисел решений нет (нет реальных корней).
• В комплексной области решения: x = (-3 ± i√51) / 5 ≈ -0.6 ± 1.428i.