Стороны параллелограмма равны 7 см и 6√2 см, а один из углов равен 45°. Найдите диагонали параллелограмма

Задача: стороны параллелограмма 7 см и 6√2 см, угол между ними 45°. Найти диагонали.

Способ 1: через геометрическую формулу параллелограмма

• Обозначим стороны как a = 7, b = 6√2, угол между ними θ = 45°, cos θ = cos 45° = √2/2.
• Вычислим ab = 7 · 6√2 = 42√2 и 2ab cos θ = 2 · 42√2 · (√2/2) = 84.
• Диагонали параллелограмма обладают такими величинами: d1^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos θ, d2^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos θ.
• a^2 = 49, b^2 = (6√2)^2 = 72, поэтому a^2 + b^2 = 121.
• Тогда: d1^2 = 121 + 84 = 205, d2^2 = 121 − 84 = 37.
• Следовательно: d1 = √205 см, d2 = √37 см.
• Приближённо: √205 ≈ 14.32 см, √37 ≈ 6.08 см.

Способ 2: координатный (нагляднее)

• Пусть первая сторона идёт по оси x: A = (0,0), B = (7,0).
• Вторая сторона имеет длину 6√2 и угол 45° к первой, её вектор b = (6,6). Тогда D = A + b = (6,6), C = B + b = (13,6).
• Диагонали: AC и BD.
  • AC = вектор C − A = (13,6), длина √(13^2 + 6^2) = √(169+36) = √205.
  • BD = вектор D − B = (6−7, 6−0) = (−1,6), длина √((-1)^2 + 6^2) = √37.
• Получаем те же значения: √205 и √37.

Ответ:

• Диагонали параллелограмма равны √205 см и √37 см (приближённо 14.32 см и 6.08 см).