производная функции Z = 4√x + 3 * y направление оси y в точке А (1;7) равна

Задача: найти направленную производную функции Z(x, y) = 4√x + 3y в направлении оси y в точке A(1, 7).

Пояснение:

• Направленная производная в направлении вектора u равна D_u Z = ∇Z · u, где ∇Z — градиент функции, а u — единичный вектор направления.
• Направление оси y в положительном направлении задаётся единичным вектором u = (0, 1).

Сделаем расчёты:

1. Частные производные:
   • ∂Z/∂x = 4 * (1/(2√x)) = 2/√x.
   • ∂Z/∂y = 3.
2. Градиент: ∇Z = (∂Z/∂x, ∂Z/∂y) = (2/√x, 3). В точке A(1, 7): ∇Z(A) = (2/√1, 3) = (2, 3).
3. Направленная производная в направлении оси y: D_u Z = ∇Z(A) · u = (2, 3) · (0, 1) = 20 + 31 = 3.

Ответ: 3.