Решение по шагам
В прямоугольном треугольнике ABC, где C – вершина прямого угла, M — середина гипотенузы AB. Тогда AM = BM = CM. По условию MN = AM = 5, значит CM = 5. Следовательно AB = 2·AM = 10.
Введём координаты для удобства:
- C = (0, 0);
- B = (b, 0) на оси x;
- A = (0, a) на оси y, при этом a^2 + b^2 = AB^2 = 100.
Точка M — середина AB: M = (b/2, a/2).
Точка D лежит на продолжении AC за C, то есть вдоль оси y ниже C: D = (0, −d) с d > 0.
Точка E лежит на BC, то есть на оси x между 0 и b: E = (e, 0) с 0 ≤ e ≤ b.
Точка N — середина DE: N = ((0+e)/2, (−d+0)/2) = (e/2, −d/2).
Условие MN = 5 даёт
MN^2 = ((b/2 − e/2)^2 + (a/2 − (−d/2))^2) = ((b − e)^2 + (a + d)^2)/4 = 25,
то есть (b − e)^2 + (a + d)^2 = 100. (1)
Условие ∠CBN = 30° даёт отношение через вектор BN. Вектор BC направлен от B к C: BC = (−b, 0). Вектор BN: BN = N − B = (e/2 − b, −d/2).
cos ∠CBN = (BC · BN) / (|BC|·|BN|) = [−b·(e/2 − b)] / [b·√((e/2 − b)^2 + (d/2)^2)] = (b − e/2) / √((b − e/2)^2 + (d/2)^2).
Так как ∠CBN = 30°, cos 30° = √3/2, значит
(b − e/2) / √((b − e/2)^2 + (d/2)^2) = √3/2.
Отсюда следует, что b − e/2 = (√3/2) d. Поэтому
e = 2b − √3 d. (2)
- Подставим (2) в (1) и выразим через a, b, d. Заметим, что a^2 = 100 − b^2 и
(b − e) = b − (2b − √3 d) = √3 d − b, поэтому (b − e)^2 = (√3 d − b)^2 = b^2 − 2√3 b d + 3d^2.
Тогда (1) даёт
(b^2 − 2√3 b d + 3d^2) + (a + d)^2 = 100.
Но (a + d)^2 = a^2 + 2ad + d^2 = (100 − b^2) + 2ad + d^2. Соединяем:
[b^2 − 2√3 b d + 3d^2] + [100 − b^2 + 2ad + d^2] = 100
4d^2 − 2√3 b d + 2a d = 0
d(2d − √3 b + a) = 0.
Так как d > 0, имеем a = √3 b − 2d. (3)
Используем связь a^2 + b^2 = 100 и (3):
a^2 = (√3 b − 2d)^2 = 3b^2 − 4√3 b d + 4d^2.
Но a^2 = 100 − b^2, значит
100 − b^2 = 3b^2 − 4√3 b d + 4d^2
4b^2 − 4√3 b d + 4d^2 = 100
b^2 − √3 b d + d^2 = 25. (4)
Теперь найдём DE. По координатам DE = расстояние между D(0, −d) и E(e, 0):
DE^2 = e^2 + d^2 = (2b − √3 d)^2 + d^2 = 4b^2 − 4√3 b d + 4d^2 = 4(b^2 − √3 b d + d^2).
Из (4) получаем b^2 − √3 b d + d^2 = 25, следовательно
DE^2 = 4 · 25 = 100, значит DE = 10.
Ответ: DE = 10. Примечание: получилась красивая симметрия: DE равно AB (обе длины 10).
