В р/б трапеции острый угол равен 60°.док что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стараны
Задача: в равнобедренной трапеции ( AB ∥ CD, AD = BC, AB > CD) острый угол равен 60°. доказать, что меньшее основание CD равно разности большого основания AB и боковой стороны AD.
Пояснение и решение по шагам
- Обозначения и условия
- Обозначим основания: длинное AB и короткое CD, AD и BC — боковые стороны (равны между собой).
- Острый угол при основании AB: ∠A = ∠B = 60° (так как трапеция равнобедренная, углы на одной линии основания равны).
- Нужно доказать: CD = AB − AD.
Идея Каждая боковая сторона AD (и BC) под углом 60° к основанию AB «убирает» часть длины AB в сторону CD. Эта «убырка» по горизонтали равна проекции боковой стороны на направление AB и равна AD cos 60° = AD/2. Так как обе боковые стороны делают одинаковую горизонтальную проекцию, общая разность длин оснований AB − CD равна сумме двух таких проекций.
Формула разности оснований
- Горизонтальная проекция AD на AB равна AD cos 60° = AD/2.
- Горизонтальная проекция BC на AB равна BC cos 60° = AD cos 60° = AD/2.
- Так как CD короче AB на две такие проекции (с обеих сторон), имеем: AB − CD = AD/2 + AD/2 = AD.
- Следовательно CD = AB − AD.
- Вывод В равнобедренной трапеции при острым угле 60° выполняется CD = AB − AD, то есть меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны.
Дополнительная заметка (для общего случая): если угол был не 60°, а какой-то α, то AB − CD = 2·AD·cos α, и CD = AB − 2·AD·cos α. Но для α = 60° получаем CD = AB − AD.
