Однородная доска длиной L = 1,20 м с прямоугольным сечением площадью S = 24 см- уравновешена горизонтально на единственной опоре. Точка опоры находится на расстоянии 0,4L от левого конца доски. К доске на расстоянии 0,2L от того же конца подвешен алюминиевый груз. Плотности древесины и алюминия равны соответственно рд = 750 кг м" и рал = 2700 кг/м". Ускорение свободного падения примите равным д = 10 м/с
1. Найдите массу доски М. Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей.
2. Определите массу груза m, при которой система находится в равновесии. Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей.
3. Найдите силу реакции опоры №o в этом положении. Ответ выразите в Н, округлив до десятых долей.
4. Груз полностью погружают в воду плотностью р = 1000 кг/м", при этом точку его подвеса смещают на расстояние Дх, чтобы доска осталась в горизонтальном положении равновесия. Точка опоры не меняется. Определите расстояние Д.х. Ответ выразите в м, округлив до сотых долей.
5. Найдите отношение силы реакции опоры N в новом состоянии равновесия к её значению № в первоначальном состоянии, Ответ округлите до тысячных долей
Ниже идейное решение задачи пошагово. Все числа приводятся с округлением по требованиям.
Даны:
- Длина доски L = 1,20 м
- Площадь поперечного сечения S = 24 см^2 = 2,4×10^-3 м^2
- Плотности: древесины ρd = 750 кг/м^3, алюминия ρa = 2700 кг/м^3
- Пружение: g = 10 м/с^2
- Точка опоры по левому концу на расстоянии 0,4L; груз висит на расстоянии 0,2L от того же конца
- Плотность воды ρw = 1000 кг/м^3
1) Масса доски M
Объем доски V = S × L = 2,4×10^-3 м^2 × 1,20 м = 0,00288 м^3
Масса доски M = ρd × V = 750 кг/м^3 × 0,00288 м^3 = 2,16 кг
Ответ: M = 2,16 кг
2) Масса груза m для равновесия (без погружения в воду)
Система вращается вокруг опоры. ||Моменты по виброням:
- расстояние от центра масс доски до опоры: xцентр − xопора = 0,5L − 0,4L = 0,1L → 0,1 × 1,20 = 0,12 м
- расстояние груза до опоры: xгруз − xопора = 0,2L − 0,4L = −0,2L → −0,24 м
Равновесие по моментам дает:
W_doski × 0,12 = W_gruza × 0,24
(M g) × 0,12 = (m g) × 0,24
m = M × (0,12/0,24) = M × 0,5 = 2,16 × 0,5 = 1,08 кг
Ответ: m = 1,08 кг
3) Сила реакции опоры N в этом положении
По вертикали равновесие даёт: N = сумма DOWN-сил = W_doska + W_gruz
W_doska = M g, W_gruz = m g
N = (M + m) g = (2,16 + 1,08) × 10 = 3,24 × 10 = 32,4 Н
Ответ: N = 32,4 Н
4) Груз полностью погружают в воду и точку подвеса смещают на Δx так, чтобы доска оставалась горизонтальной
Пусть груз погружён полностью, объём груза V = m / ρa = 1,08 / 2700 ≈ 4,00×10^-4 м^3.
Сила Архимеда: B = ρw g V = 1000 × 10 × 4,00×10^-4 ≈ 4,0 Н.
Эффективная сила тяжести груза (для момента) F_eff = m g − B = 1,08 × 10 × − 4 ≈ 10,8 − 4 = 6,8 Н.
Новая эквилибрийная условие по моментам около опоры (опорa остаётся на прежнем месте):
τ_doska + τ_gruz = 0
τ_doska = M g × 0,12 м = 2,16 × 10 × 0,12 = 2,592 Н·м
τ_gruz = F_eff × (Δx − 0,24 м) (левый конец −0, доп. перемещение Δx; левая дистанция до опоры 0,24 м)
Итак:
2,592 + 6,8 × (Δx − 0,24) = 0
6,8 × (Δx − 0,24) = −2,592
Δx − 0,24 = −2,592 / 6,8 ≈ −0,3812
Δx ≈ 0,24 − 0,3812 ≈ −0,1412 м
То есть точку подвеса нужно сместить на примерно 0,14 м влево от исходной позиции (Δx ≈ −0,14 м).
Ответ: Dх ≈ −0,14 м (смещение на 0,14 м влево)
5) Отношение силы реакции опоры в новом состоянии к её начальному значению
Начальное N_initial = 32,4 Н.
В новом состоянии роль вертикальных сил отличается тем, что Архимедова сила B действует вверх на груз:
N_new = W_doska + (W_gruz − B) = M g + m g − B = (M + m) g − B
Подставим: (M + m) g = 3,24 × 10 = 32,4 Н, B ≈ 4,0 Н
N_new ≈ 32,4 − 4,0 = 28,4 Н
Отношение:
N_new / N_initial ≈ 28,4 / 32,4 ≈ 0,87654 ≈ 0,877 (до тысячных)
Ответ: 0,877
Итоговые ответы:
1) Масса доски M = 2,16 кг
2) Масса груза m = 1,08 кг
3) Нагрузка на опору N = 32,4 Н
4) Смещение подвеса Δx ≈ −0,14 м (влево на 0,14 м)
5) Отношение N_new к N_initial ≈ 0,877
