Высоты АА1 и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке H. BH = HB1. AH = 4, AA1=7. Найти стороны треугольника АВС.

Задача с условиями AH = 4 и AA1 = 7, а также пересечение высот в H и BH = HB1 решается удобно через координаты. Шаги решения: 1) Ввод координат - Пусть BC лежит на оси OX, а высота AA1 перпендикулярна BC, поэтому A и A1 имеют одну вертикальную координату. - AA1 = 7 значит, если BC на оси y = 0, то A = (x, 7) и A1 = (x, 0). - Так как AH = 4 и A и H лежат на высоте AA1, то H находится на той же биссектрисной вертикали: H = (x, 3). - Пусть B = (b, 0) и C = (c, 0). 2) Используем тождество BH = HB1 - Высота BB1 идет от B к BC через точку B1 на AC, а H лежит на этой высоте и является серединой отрезка BB1 (BH = HB1). - Следовательно B1 = 2H − B по вектору: B1 = (2x − b, 6). 3) B1 лежит на прямой AC - Точка A = (x, 7), C = (c, 0). Точку B1 нужно проверить на коллинеарности A, C, B1. - По условию коллинии получаем отношение координат: c = 8x − 7b. (Можно получить через теорему о коллинеарности или через сравнительную зависимость по прямой AC.) 4) Перпендикулярность BB1 и AC - М slope AC = (0 − 7) / (c − x) = −7/(c − x). - Координаты B и B1: B = (b, 0), B1 = (2x − b, 6). slope BB1 = (6 − 0) / ((2x − b) − b) = 6 / (2x − 2b) = 3/(x − b). - Чтобы BB1 ⟂ AC, произведение угловых coef должен быть −1: (−7/(c − x)) · (3/(x − b)) = −1 21 = (x − b)(c − x). 5) Решение системы - Из п.3 имеем c = 8x − 7b. Подставим в п.4: (x − b)(c − x) = (x − b)[(8x − 7b) − x] = (x − b)(7x − 7b) = 7(x − b)^2. Значит 7(x − b)^2 = 21 ⇒ (x − b)^2 = 3. - Следовательно |x − b| = √3. - Теперь найдем стороны: AB^2 = (x − b)^2 + (7)^2 = 3 + 49 = 52 ⇒ AB = √52 = 2√13. BC = |c − b| = |(8x − 7b) − b| = |8(x − b)| = 8√3. AC^2 = (c − x)^2 + 7^2, где c − x = 7(x − b) ⇒ (c − x)^2 = 49(x − b)^2 = 49·3 = 147; поэтому AC^2 = 147 + 49 = 196 ⇒ AC = 14. 6) Ответ - AB = 2√13 - BC = 8√3 - AC = 14 Замечание: знак x − b может быть как +√3, так и −√3, но длины сторон остаются тем же набором: AB = 2√13, BC = 8√3, AC = 14.