Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму — по нечётным. Найдите количество цифр наибольшего по нечётного числа с суммой цифр 2025

Задача: число называется по нечётным, если сумма двух соседних цифр нечётна (то есть сумма соседних цифр имеет противоположную парность). Найдите количество цифр наибольшего по величине по нечётному числу с суммой цифр 2025. Пояснение и решение: - Свойство соседних цифр: d_i + d_{i+1} — нечётная. Это значит, что соседние цифры имеют противоположную чётность: чётная после нечётной и наоборот. Следовательно, цифры чередуют чётность. - Пусть число имеет n цифр, сумма цифр равна S = 2025. Значит, все цифры на чётных позициях (2, 4, ...) имеют чётную парность, а цифры на нечётных позициях (1, 3, 5, ...) — нечётную парность. В частности, каждая нечётная позиция содержит не нульовую нечётную цифру (1, 3, 5, …), а каждая чётная может быть нулём или другим чётным числом. - Чтобы максимально увеличить величину числа при фиксированной сумме S, нужно как можно больший раз использовать минимальные по величине цифры и как можно больше цифр. Это достигается, если все нечётные позиции заполнить единицами (наименьшая непустая нечётная цифра), а все чётные позиции заполнить нулями (наименьшая чётная цифра). При этом сумма цифр становится ровно S, если количество нечётных позиций равно S. - Ограничение по длине: число нечётных позиций равно ceil(n/2). Так как каждая нечётная позиция даёт минимум 1 к сумме, имеем S ≥ ceil(n/2). Значит n ≤ 2S − 1. Это максимальная возможная длина. - Достижение максимальной длины возможно: возьмём n = 2S − 1 и заполним нечётные позиции цифрами 1, чётные — нулями. Тогда сумма цифр будет S, соседние суммы будут нечетными (1+0 и 0+1 дают нечётное), последняя цифра будет 1 (откуда число нечетное). Это реальное число, обладающее максимальной длиной. Применим к S = 2025: - Максимальная длина n = 2·2025 − 1 = 4049. - Пример такого числа: 1 0 1 0 1 0 … 1 (чередование, всего 4049 цифр), сумма цифр равна 2025, число нечетное, и удовлетворяет условию. Ответ: количество цифр на наибольшем по величине по нечётному числу с суммой цифр 2025 равно 4049.