Ниже решения по каждой задаче.
Nº1
Даны A = 45°, B = 60°, BC = a = 3√2. Скрестим стороны через синус: a/sin A = b/sin B, где b = AC.
sin A = sin 45° = √2/2, sin B = sin 60° = √3/2.
AC = b = a · sin B / sin A = (3√2) · (√3/2) / (√2/2) = 3√3.
Ответ: AC = 3√3.
Nº2
Даны стороны a = 7, b = 8 и включённый угол γ = 120°. По теореме косинусов третий бок c:
c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ = 7^2 + 8^2 − 2·7·8·cos 120°
cos 120° = −1/2, так что
c^2 = 49 + 64 − 2·7·8·(−1/2) = 113 + 56 = 169.
c = 13.
Ответ: 13 см.
Nº3
AB = 6, AC = 8, площадь S = 12√2, угол A тупой.
S = (1/2)·AB·AC·sin A = (1/2)·6·8·sin A = 24 sin A.
Из S = 12√2 получаем sin A = (12√2)/24 = √2/2. Так как A тупой, A = 135°.
Тогда BC^2 по косинусам:
BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos A
cos 135° = −√2/2, значит
BC^2 = 6^2 + 8^2 − 2·6·8·(−√2/2) = 36 + 64 + 48√2 = 100 + 48√2.
Ответ: BC = √(100 + 48√2).
Nº4
Параллелограмм: AB = 4, AD = 5√2, угол A = 45°. Диагонали d1, d2:
d1^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos θ, d2^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos θ,
где a = AB = 4, b = AD = 5√2, cos 45° = √2/2.
d1^2 = 4^2 + (5√2)^2 + 2·4·5√2·(√2/2)
= 16 + 50 + 40 = 106 → d1 = √106.
d2^2 = 16 + 50 − 40 = 26 → d2 = √26.
Ответ: диагонали √106 см и √26 см.
Nº5
AB = BC, угол A = ∠CAB = 30°, AE — биссектриса, BE = 8 см.
Положим AB = BC = x. По теореме косинусов (BC = AB):
BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC cos A
x^2 = x^2 + AC^2 − 2x·AC cos 30° ⇒ AC = 2x cos 30° = x√3.
Биссектриса делит BC пропорционально сторонам при угле A:
BE/EC = AB/AC = x/(x√3) = 1/√3.
EC = BC − BE = x − 8, значит
8/(x − 8) = 1/√3 → x − 8 = 8√3 → x = 8(√3 + 1).
Таким образом AC = x√3 = 8(√3 + 1)√3 = 8(3 + √3) = 24 + 8√3.
Площадь треугольника ABC:
S = (1/2)·AB·AC·sin ∠A = (1/2)·x·AC·sin 30° = (1/2)·x·AC·(1/2) = x·AC/4.
Подстановка x = 8(√3+1), AC = 24 + 8√3 даёт
S = [8(√3+1) · (24 + 8√3)] / 4 = 96 + 64√3.
Ответ: площадь ABC равна 96 + 64√3 см².
Итоги:
- №1: AC = 3√3
- №2: третья сторона = 13 см
- №3: BC = √(100 + 48√2) см
- №4: диагонали √106 см и √26 см
- №5: площадь ABC = 96 + 64√3 см²
