В треугольнике ABC MN - средняя линия, М E AB, N € BC, 0 - точка пересечения медиан.
1. Найдите координаты вершин треугольника, если М(3; 3,5), N(7;
3,5), 0(5; 3).
2. Найдите длины медиан AN и СМ.
3. Три вершины ромба находятся в точках А, В и С. Определите координаты его четвертой вершины.
Решение задачи разбиваем на части и показываем по шагам.
Дано:
- В треугольнике ABC точка M лежит на AB и является её серединой, точка N лежит на BC и является её серединой, точка O — центр масс (центр тяжести) треугольника.
- Координаты: M(3, 3.5), N(7, 3.5), O(5, 3).
1) Найдём координаты вершин A, B, C
Обозначим A = (x1, y1), B = (x2, y2), C = (x3, y3).
Из условий midpoints:
- M — середина AB: (x1 + x2)/2 = 3, (y1 + y2)/2 = 3.5
=> x1 + x2 = 6, y1 + y2 = 7.
- N — середина BC: (x2 + x3)/2 = 7, (y2 + y3)/2 = 3.5
=> x2 + x3 = 14, y2 + y3 = 7.
Из центра масс O:
- O — середина треугольника по формулам: (x1 + x2 + x3)/3 = 5, (y1 + y2 + y3)/3 = 3
=> x1 + x2 + x3 = 15, y1 + y2 + y3 = 9.
Решение по координатам по порядку:
- x3 = 15 - (x1 + x2). Но x1 + x2 = 6, значит x3 = 9.
- y3 = 9 - (y1 + y2). Но y1 + y2 = 7, значит y3 = 2.
- Из x2 + x3 = 14 получаем x2 = 14 - x3 = 14 - 9 = 5.
Тогда x1 = 6 - x2 = 1.
- Из y2 + y3 = 7 получаем y2 = 7 - y3 = 7 - 2 = 5.
Тогда y1 = 7 - y2 = 2.
Итоговые координаты вершин:
- A = (1, 2)
- B = (5, 5)
- C = (9, 2)
Проверка: средняя точка AB = ((1+5)/2, (2+5)/2) = (3, 3.5) — совпадает с M; середина BC = ((5+9)/2, (5+2)/2) = (7, 3.5) — совпадает с N; центр масс = ((1+5+9)/3, (2+5+2)/3) = (5, 3) — совпадает с O. Значит решения корректны.
2) Найдём длины медіан AN и CM
- Медиана AN — от вершины A к точке N (середине BC): расстояние между A(1,2) и N(7, 3.5).
dx = 7 - 1 = 6, dy = 3.5 - 2 = 1.5.
AN = sqrt(6^2 + 1.5^2) = sqrt(36 + 2.25) = sqrt(38.25) = sqrt(153)/2 ≈ 6.1847.
- Медиана CM — от вершины C к точке M (середине AB): расстояние между C(9,2) и M(3,3.5).
dx = 3 - 9 = -6, dy = 3.5 - 2 = 1.5.
CM = sqrt((-6)^2 + 1.5^2) = sqrt(36 + 2.25) = sqrt(38.25) = sqrt(153)/2 ≈ 6.1847.
Итого: AN = CM = sqrt(153)/2 ≈ 6.185.
3) Четвёртая вершина ромба, если три вершины — A, B, C
Из условия AB = BC (для данного набора точек AB и BC равны по длине: AB = sqrt(4^2 + 3^2) = 5, BC = sqrt(4^2 + (-3)^2) = 5). Значит A и C соседние вершины вокруг B, и треугольник ABC можно дополнять до ромба ABCD так, чтобы AB ∥ CD и BC ∥ AD.
Для параллелограмма, который является ромбом, можно вычислить четвёртую вершину по формуле D = A + (C − B).
Используя A(1,2), B(5,5), C(9,2):
- C − B = (9−5, 2−5) = (4, −3)
- D = A + (C − B) = (1,2) + (4, −3) = (5, −1)
Проверка долгов: стороны AB, BC, CD, DA равны 5 как и требовалось:
- AB = 5, BC = 5, CD = distance(C, D) = sqrt((9−5)^2 + (2−(−1))^2) = sqrt(4^2 + 3^2) = 5, DA = distance(D, A) = sqrt((5−1)^2 + (−1−2)^2) = sqrt(4^2 + (−3)^2) = 5.
Ответ: четвертая вершина ромба D = (5, −1).
Итоги:
- Вершины треугольника: A = (1, 2), B = (5, 5), C = (9, 2).
- Медианы: AN = CM = sqrt(153)/2 ≈ 6.185.
- Четвёртая вершина ромба: D = (5, −1).
