На гирлянде 23 лампочки. Каждую минуту 8 любых загорается и гаснет. Может ли в какую то минуту задаться все лампочки?

Кратко: нет, всех лампочек за один момент достичь нельзя, если каждые сутки/минуту выбираются 8 лампочек и меняют своё состояние.

Пояснение по шагам:

• Пусть в момент t включено L_t лампочек.
• На следующем шаге мы меняем состояние exactly 8 лампочек. Пусть из них k были включены до переключения.
• После переключения число включённых станет: L_{t+1} = L_t - k + (8 - k) = L_t + 8 - 2k.
• Заметим: 8 - 2k — чётное число, значит L_{t+1} ≡ L_t (мод 2). То есть четность количества включённых лампочек не меняется.
• Изначально все лампочки выключены, значит L_0 = 0 (чётное). Следовательно, при любых t число включённых лампочек остаётся чётным.
• 23 лампочки все включить означает L = 23, который нечётный. По вышеуказанному правилу это невозможно.

Ответ: нет, никакая минута не приведёт к тому, чтобы все 23 лампочки были зажжены (при условии, что в каждую минуту выбирают и переключают ровно 8 лампочек). Если бы начальное число включённых было нечётным, возможна другая ситуация, но в стандартной постановке с нуля это невозможно.