Задача: в треугольнике ABC дана сторона AB = 13,2 см, AC = 12,9 см и угол между ними ∠BAC = 30°. Найдем площадь треугольника без использования синуса.
Решение пошагово
- Найдем сторону BC (противолежащую угол A) с помощью закона косинусов:
BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos∠A.
cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660254.
Подставляем:
AB^2 = 13,2^2 = 174,24
AC^2 = 12,9^2 = 166,41
2·AB·AC = 2·13,2·12,9 = 340,56
2·AB·AC·cos∠A ≈ 340,56 · 0,8660254 ≈ 294,934
BC^2 ≈ 174,24 + 166,41 − 294,934 ≈ 45,716
BC ≈ √45,716 ≈ 6,76 см
- Используем формулу Герона для площади через все стороны.
Сначала найдём полупериметр:
s = (AB + AC + BC)/2 ≈ (13,2 + 12,9 + 6,76)/2 ≈ 16,432
Вычислим аргументы под корнем:
s − AB ≈ 16,432 − 13,2 ≈ 3,232
s − AC ≈ 16,432 − 12,9 ≈ 3,532
s − BC ≈ 16,432 − 6,76 ≈ 9,672
- Площадь по Герону:
S = sqrt( s · (s − AB) · (s − AC) · (s − BC) )
≈ sqrt( 16,432 · 3,232 · 3,532 · 9,672 )
≈ sqrt(≈ 1813,5)
S ≈ 42,6 см²
Ответ: площадь треугольника примерно 42,6 см².
